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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 11

10. y = tg x ; n = 3

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever y = tg x , como

y = (sen x)/(cos x)

Passo 3

Para

y = - (sen x)/(cos x)

Analisamos como uma derivada do produto

y = (u)/(v) ⟹ y^' = (u^' v - u v^')/(v^2)

Passo 4

Realizando a primeira derivada

y^' = (u^' v - u v^')/(v^2)

Temos

u = sen x e v = cos x

Para u

u = sen x

u^' = cos x

Para v '

v = cos x

v^' = - sen x

Para v^2

v = cos x

v^2 = cos^2 x

Passo 5

Agora vamos aplicar na fórmula y '

y^' = (cos x * cos x - sen x * (- sen x))/(cos^2 x)

Realizando as multiplicações

y^' = (cos^2 x + sen^2 x)/(cos^2 x)

Lembrando que

cos^2 x + sen^2 x = 1

Temos

y^' = (1)/(cos^2 x)

Lembrando também que

(1)/(cos x) = sec x

Temos

y^' = sec^2 x

Passo 6

Realizando a segunda derivada

y^' = (d f (u))/(d x) = (d f)/(d u) * (d u)/(d x)

Temos

f = u^2 e u = sec x

Para (d f)/(d u)

f = u^2

f^' = 2 u

f^' = 2 sec x

Para (d u)/(d x)

u = sec x

Lembrando

sec x = (1)/(cos x)

Utilizando a derivada do quociete temos

u ' = (a^' b - a b^')/(b^2)

a = 1 e b = cos x

Para a

a = 1

a^' = 0

Para b

b = cos x

b^' = - sen x

Para v^2

v = cos x

v^2 = cos^2 x

Aplicando em u^'

u ' = (0 * cos x + sen x)/(cos^2 x)

u^' = (sen x)/(cos^2 x)

u^' = (sen x)/(cos x) * (1)/(cos x)

u^' = tg x * sec x

Passo 7

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y^(( 2 )) = 2 sec x * tg x * sec x

y^(( 2 )) = 2 sec^2 x * tg x

Passo 8

Realizando a terceira derivada

y^' = u^' v + u v '

Temos

u = 2 sec^2 x e v = tg x

Para u^' , utilizaremos a derivada do produto e a regra da cadeia

u^' = a^' b + a b '

a = 2 e b = sec^2 x

a = 2

a^' = 0

b^' = (d f (c))/(d x) = (d f)/(d c) * (d c)/(d x)

f = c^2 e c = sec x

(d f)/(d c) = 2 c

(d f)/(d c) = 2 sec x

c = sec x , e a derivada da secante já foi realizada no passo 6

Temos

(d c)/(d x) = tg x * sec x

Aplicando em b^'

b^' = 2 sec x * tg x * sec x

b^' = 2 sec^2 x * tg x

Retornando para u '

u^' = 0 * sec^2 x + 4 sec^2 x * tg x

u^' = 4 sec^2 x * tg x

Para v ' , a dericada da tangente já foi realizada no passo 5

v = (sen x)/(cos x)

v^' = sec^2 x

Passo 9

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y^(( 3 )) = 4 sec^2 x * tg x * tg x + 2 sec^2 x * sec^2 x

y^(( 3 )) = 4 sec^2 x * tg^2 x + 2 sec^4 x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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2. y = a x^3 + b x^2 + c x + d ; n = 3
1. y = 3 x^4 - 2 x ; n = 5
3. y = 3 - 2 x^2 + 4 x^5 ; n = 10
4. y = sqrt(3 - x^2) ; n = 2
13. Ache a derivada de ordem 100 das funções:a) y = sen ⁡ x b) y = cos ⁡ x