Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . Então determine os valores de x para os quais a aproximação linear é precisa dentro de 0,1.

raiz(1 - x) ≈ 1 - (1 / 3)x

Passo 1

Se queremos linearizar uma função f ( x ) , fazendo uma aproximação tendo como base um valor x = a , aplicamos a seguinte fórmula:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Queremos aproximar 1 - x 3 , e podemos fazer isso tomando como base a = 0 , como mostra o enunciado. Nossa aproximação fica então:

L x = f 0 + f ' 0 x - 0 = f 0 + x f ' ( 0 )

Passo 2

Primeiro calculamos f ( 0 ) . Temos:

f 0 = 1 - 0 3 = 1

Agora devemos ter o valor da derivada da função para x = 0 . Derivando:

f x = x - 1 3 = ( x - 1 ) 1 / 3

⇒ f ' x = 1 3 x - 1 - 2 3 - 1 = - 1 3 ( x - 1 ) 2 3

Então, para x = 0 :

f ' 0 = - 1 3 - 1 2 3 = - 1 3

Colocando na fórmula:

L x = f 0 + x f ' 0 = 1 - 1 3 x

Passo 3

Agora queremos saber para quais valores de x a aproximação linear é precisa dentro de 0,1. Isso significa que queremos que a diferença entre L x = 1 - 1 3 x e 1 - x 3 seja menor que 0,1:

1 - 1 3 x - 1 - x 3 < 0,1

⇒ - 0,1 < 1 - 1 3 x - 1 - x 3 < 0,1

Somando 1 - x 3 na inequação:

1 - x 3 - 0,1 < 1 - 1 3 x < 1 - x 3 + 0,1

Isso significa que se deslocarmos o gráfico de 1 - x 3 de 0,1 para cima e para baixo, o gráfico de 1 - 1 3 x deve estar dentro dessa faixa. Podemos fazer isso montando os gráficos de 1 + 1 3 x , 1 - x 3 - 0,1 e 1 - x 3 + 0,1 , e vendo para quais valores de x isso ocorre:

Podemos ver que o intervalo para essa precisão é:

x ∈ ( - 1,204 ,   0,707 )

Resposta

x ∈ ( - 1,204 ,   0,707 )

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