Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.11 - Ex. 11

Verifique a aproximação linear dada em . Então determine os valores de para os quais a aproximação linear é precisa dentro de 0,1.

Passo 1

Se queremos linearizar uma função , fazendo uma aproximação tendo como base um valor , aplicamos a seguinte fórmula:

Queremos aproximar , e podemos fazer isso tomando como base , como mostra o enunciado. Nossa aproximação fica então:

Passo 2

Primeiro calculamos . Temos:

Agora devemos ter o valor da derivada da função para . Derivando:

Então, para :

Colocando na fórmula:

Passo 3

Agora queremos saber para quais valores de a aproximação linear é precisa dentro de 0,1. Isso significa que queremos que a diferença entre e seja menor que 0,1:

Somando na inequação:

Isso significa que se deslocarmos o gráfico de de 0,1 para cima e para baixo, o gráfico de deve estar dentro dessa faixa. Podemos fazer isso montando os gráficos de , e , e vendo para quais valores de isso ocorre: