Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 38

Com ambos os métodos dos discos/arruelas e o das camadas cilíndricas, integramos uma “área” para obter o volume de um sólido de revolução. Contudo, essas duas abordagens são bastante diferentes. Escreva um parágrafo curto discutindo essas diferenças.

Passo 1

No método de discos a gente pensa no volume do sólido de revolução como a soma infinitesimal de áreas de círculos de raio , quando a revolução é em torno de .

Ou seja, a variável de integração é a do eixo paralelo ao eixo de rotação.

Por isso, a fórmula tem essa cara mais parecida com uma área de círculo:

Passo 2

Já quando a gente pensa no método das cascas cilíndricas, estamos somando áreas laterais de cilindros de raio e altura , quando o eixo de rotação é o eixo .

Assim, a variável de integração é a do eixo perpendicular ao eixo de rotação.

Por isso, nesse método, a integral tem a cara mais parecida com comprimento de uma circunferência multiplicada por uma altura:

Resposta

Principais diferenças são os tipos de áreas que são somadas nas integrais. E a relação da variável usada na fórmula e o eixo de rotação.

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Usando o método das camadas cilíndricas, monte uma integral (mas não a calcule) para o volume do sólido gerado quando a região R é girada em torno ( a ) da reta x = 1 e ( b ) da reta y = - 1 . R é a r

Diante da tarefa de calcular o volume de um sólido de revolução, qual seria o seu procedimento para decidir o método utilizado, se o dos discos, o das arruelas ou o das camadas cilíndricas?

Encontre o volume V do sólido que resulta quando a região delimitada por y = 1 1 + x 4 ,y = 0 ,x = 1ex = b( b1 ) gira em torno do eixo y .Encontre lim b → + ∞ ⁡ V .

A região entre a curva y 2 = k x e a reta x = 1 4 k gira em torno da reta x = 1 2 k . Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante. (Suponha k0 )

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do toro obtido fazendo girar o círculo x 2 + y 2 = a 2 em torno da reta x = b , sendo ba0 . [Sugestão: pode ajudar na integração imaginar que a integral