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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 35

Sejam V x e V y os volumes dos sólidos resultantes quando a região limitada por y = 1 x ,   y = 0 ,   x = 1 2   e   x = b   b > 1 2 gera em torno dos eixos x   e   y respectivamente. Há algum valor de b para o qual V x = V y ?

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos ver, essa aqui se a gente calcular os dois volumes, a gente pode comparar depois e ver se tem como serem iguais...

Vamos fazer isso então, lembrando que V x é o volume de quando rotacionamos em torno do eixo x e V y quando rotacionamos em torno do eixo y .

Bora?

Passo 2

Olha só, em torno de x a gente vai usar o método dos discos. Montando, fica assim:

V x = π ∫ 1 2 b 1 x 2 - 0 2   d x

V x = π ∫ 1 2 b 1 x 2 d x

V x = π - 1 x 1 2 b

V x = π - 1 b + 2

Beleza, o volume em torno do eixo x é esse!

Passo 3

Vamos ver o V y agora. Como é em torno do eixo y , vamos usar o método das cascas cilíndricas:

V y = ∫ 1 2 b 2 π x 1 x   d x

V y = 2 π ∫ 1 2 b d x

V y = 2 π b - 1 2

V y = 2 π b - π

V y = π ( 2 b - 1 )

Volume V y calculado!

Passo 4

Agora vamos ver se tem algum valor pra b que eles são iguais...

V x = V y

- 1 b + 2 = 2 b - 1

- 1 + 2 b = 2 b 2 - b b

2 b 2 - 3 b + 1 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos:

b = 1 2   ( n ã o   p o d e )

b = 1

Ou seja, o valor de b que faz V x = V y é b = 1 😉

Resposta

b = 1

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Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região englobada pelas curvas gira em torno do eixo y . y = 1 x 2 + 1 , x = 0 , x = 1 , y = 0
Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região englobada pelas curvas gira em torno do eixo y . y = 2 x - 1 , y = - 2 x + 3 , x = 2
Sejam f uma função contínua e não negativa em [ a ,b ] e R a região delimitada pory = f ( x ) e y = 0 para a ≤x ≤ b . Usando o método das camadas cilíndricas, deduza e explique uma fórmula para o volu