Considerando diferentes caminhos de aproximação, mostre que os limites nos Exercícios 15 e 16 não existem.

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x y

y x ≠ 0

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! Primeiro, vamos considerar uma:

y = k x

Dessa forma,

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 x y = lim ( x , k x ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + k x 2 x ( k x )

Desenvolvendo:

lim ( x , kx ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + k x 2 x ( k x ) = 1 + k 2 k

O que nos dá diferentes valores, todos dependendo de um certo k . Dessa forma, é provado que o limite não existe.

Resposta

lim ( x , kx ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + k x 2 x ( k x ) = 1 + k 2 k

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