Extensão contínua Seja ƒ(x, y) = (x2 – y2)/(x2 + y2) para (x, y) Z (0, 0). É possível definir ƒ(0, 0) de forma a tornar ƒ contínua na origem? Por quê?

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! O que a questão nos fala, é se conseguimos definir a uma função em um ponto especifico de forma a tornar essa função continua. Ou seja, vamos investigar o que acontece coma função nos limites da origem, em (x,y)-> (0,0). Para isso, primeiro vamos considerar uma:

y = k x

Dessa forma,

lim ( x , y ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = lim ( x , k x ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + k x 2 x - k x 2

Desenvolvendo:

lim ( x , kx ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + k x 2 x - k x 2 = 1 - k 2 1 + k 2

O que nos dá diferentes valores, todos dependendo de um certo k . Ou seja, significa que o limite não pode ser definido de um jeito que torna a função contínua na origem.

Resposta

lim ( x , kx ) → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + k x 2 x ( k x ) = 1 + k 2 k

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