Considere a afirmação seguinte: O valor médio da taxa de variação de uma função em um intervalo é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo. Escreva um parágrafo curto explicando por que essa afirmação pode ser interpretada como uma reformulação da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

Primeiro a gente precisa lembrar o que a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz. Ela fala que se f for uma função contínua em [ a , b ] e F for uma antiderivada de f :

∫ a b f ( x ) d x = F b - F ( a )

Como f é derivada de F , podemos escrever:

∫ a b F ' ( x ) d x = F b - F ( a )

Precisamos provar que a afirmação do enunciado descreve essa relação, mas de uma forma diferente. Vamos lá!

Passo 2

Agora, vamos escrever o que o enunciado disse. Digamos que a nossa função é F .

Ele fala sobre o valor médio da taxa de variação de uma função. Taxa de variação é a derivada F ' . O valor médio dela num intervalo [ a , b ] é dado pela fórmulinha:

F ' m = 1 b - a ∫ a b F ' ( x ) d x

Ele diz que isso é igual a taxa média de variação da função nesse intervalo. Essa taxa média tem essa cara:

Δ F m é d i a = F b - F a b - a

Podemos escrever então:

1 b - a ∫ a b F ' ( x ) d x = F b - F a b - a

Se a gente multiplicar os dois lados por ( b - a ) :

∫ a b F ' ( x ) d x = F b - F ( a )

Chegamos na expressão que montamos lá em cima para a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Tá aí! Provamos o que o enunciado pediu.

Resposta

Prova nos passos

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