Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.8 - Ex. 33
Considere a afirmação seguinte: O valor médio da taxa de variação de uma função em um intervalo é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo. Escreva um parágrafo curto explicando por que essa afirmação pode ser interpretada como uma reformulação da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
Primeiro a gente precisa lembrar o que a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz. Ela fala que se for uma função contínua em e for uma antiderivada de :
Como é derivada de , podemos escrever:
Precisamos provar que a afirmação do enunciado descreve essa relação, mas de uma forma diferente. Vamos lá!
Passo 2
Agora, vamos escrever o que o enunciado disse. Digamos que a nossa função é .
Ele fala sobre o valor médio da taxa de variação de uma função. Taxa de variação é a derivada . O valor médio dela num intervalo é dado pela fórmulinha:
Ele diz que isso é igual a taxa média de variação da função nesse intervalo. Essa taxa média tem essa cara:
Podemos escrever então:
Se a gente multiplicar os dois lados por :
Chegamos na expressão que montamos lá em cima para a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Tá aí! Provamos o que o enunciado pediu.
Resposta
Prova nos passos