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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 15

15. Usando três parcelas da série de Taylor dada na Eq.(12) e fazendo h   =   0,1 determine valores aproximados da solução do exemplo ilustrativo y ' = 1 - t + 4 y ,   y 0 = 1 em t = 0,1 e 0,2 . Compare os resultados com os do método de E u l e r e com os valores exatos.

Passo 1

Bom! Primeiramente, vamos isolar o y em sua E D O . Só que pra nossa sorte ele já tá isolado. Aí sim! Para nossaaaaaa alegriaaaa!

Pra facilitar, consideremos então a seguinte igualdade...

y ' = f ( t , y )

E sabemos também da nossa teoria que para achar y ( 0.2 ) primeiramente precisamos de y ( 0.1 ) . Então se liga só...

y 0.1 = y 0 + y ' 0 ⋅ h + y ' ' 0 ⋅ h 2 2

Desse modo, bora calcular y ' 0 ...

y ' = 1 - t + 4 y

y ' 0 = 1 - 0 + 4 ⋅ 1

y ' 0 = 5

Depois, bora tirar a expressão para y ' ' . Faremos isso, usando a regra da cadeia...

y ' ' = ∂ f ∂ t + y ' ∂ f ∂ y

Passo 2

Sendo que...

∂ f ∂ t = 1

E,

∂ f ∂ y = 4

Então,

y ' ' = 1 + 4 y '

y ' ' = 1 + 4 ( 1 - t + 4 y )

y ' ' = 5 - 4 t + 16 y

Aew! Basta agora acrescentar y ' ' ( 0 ) ...

y ' ' 0 = 5 - 4 ⋅ 0 + 16 ⋅ 1

y ' ' 0 = 21

E ficalmente podemos achar y ( 0.1 )

y 0.1 = y 0 + y ' 0 ⋅ h + y ' ' 0 ⋅ h 2 2

y 0.1 = 1 + 5 ⋅ 0.1 + 21 ⋅ ( 0.1 ) 2 2

y 0.1 = 1.605 0

Passo 3

Já estamos quase lá! Agora é aplicar só mais uma iteração para chegar em y ( 0.2 )

y 0.2 = y 0 . 1 + y ' 0 . 1 ⋅ h + y ' ' 0 . 1 ⋅ h 2 2

Calculemos y ' ( 0.1 ) ...

y ' = 1 - t + 4 y

y ' 0 . 1 = 1 - 0 . 1 + 4 ⋅ 1.605

y ' 0 . 1 = 7.32

E depois y ' ' ( 0.1 ) ...

y ' ' = 5 - 4 t + 16 y

y ' ' 0.1 = 5 - 4 ⋅ 0.1 + 16 ⋅ 1.605

y ' ' 0.1 = 30.28

Logo, obtemos que...

y 0.2 = y 0.1 + y ' 0.1 ⋅ h + y ' ' 0.1 ⋅ h 2 2

y 0.2 = 2.4884

Pronto! Resposta obtida!

Passo 4

Ah! A questão pede pra gente comparar também, os resultados que obtivemos pelo método de E u l e r ou método de E u l e r . Pois bem! Já fizemos isso na questão 14 ao completar a tabela 8.1 . 2

E obtivemos que...

Ou seja... Esses valores que são bem próximos do valor real, até que estão condizentes com os resultados dos cálculos que obtivemos pelo método de T a y l o r .

Resposta

y 0.1 = 1.605 0

y 0.2 = 2.4884

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