Considere o circuito ilustrado na figura a seguir. Use o método esboçado no problema 19 para mostrar que a corrente através do indutor e a diferença de tensão através do capacitor satisfazem o sistema de equações diferenciais:

Vamos começar chamando algumas variáveis: , , e são as quedas de tensão no capacitor, no resistor 1, no resistor 2 e no indutor, respectivamente. Da mesma forma, , , e são as correntes correspondentes. Então, no final devemos chegar ao sistema:

Agora, vamos ao método. Nosso primeiro passo será aplicar a segunda lei de Kirchhoff no primeiro laço:

Como a corrente (em azul) atravessa o resistor 1, o resistor 2 e o indutor na direção negativo-positivo, as tensões , e são positivas. Além disso, como não temos fontes de tensão no laço a somatória das tensões é zero. Então:

Vamos agora para o segundo laço:

Como a corrente (em azul) atravessa o capacitor na direção negativo-positivo, a tensão é positiva. Da mesma forma, como a corrente passa pelo resistor 2 na direção positivo-negativo a tensão é negativa. Além disso, como não temos fontes de tensão no laço a somatória das tensões é zero. Então:

O próximo passo é aplicarmos a primeira Lei de Kirchhoff no circuito. Ela diz que a somatória das correntes que saem do nó é igual à soma das correntes que entram no nó. Vamos usar o seguinte nó para aplicar a lei:

Podemos ver que o nó que escolhemos possui uma corrente saindo e uma corrente entrando no nó. Então:

Pela primeira Lei de Kirchhoff:

Vamos aplicar novamente a primeira lei de Kirchhoff para outro nó:

Podemos ver que este nó possui duas correntes saindo e uma corrente entrando no nó. Então:

Pela primeira Lei de Kirchhoff:

Nosso próximo passo será usar as equações características de cada componente.

Para um capacitor é válida a relação:

Então

A queda de tensão em um resistor é dada pela relação:

Portanto

E

Para um indutor a queda é tensão pode ser escrita por:

Pela lei de Kirchhoff vimos que:

Também verificamos que

E

Como

Nossa equação do indutor fica:

E chegamos à primeira equação do sistema. Vamos à segunda.

Pela segunda Lei de Kirchhoff:

Pela equação do capacitor:

Pela equação do resistor:

E também vimos que

Então:

E assim, chegamos na segunda equação do sistema de equações diferenciais.