Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 19
Considere o circuito ilustrado na figura a seguir.
Sejam , e as correntes atravessando, respectivamente, o capacitor, a resistência e o indutor. Analogamente, sejam , e as diferenças de tensão correspondentes. As setas denotam as direções, escolhidas arbitrariamente, nas quais as correntes e diferenças de tensão serão consideradas positivas.
(a) Aplicando a segunda Lei de Kirchhoff ao laço superior do circuito, mostre que
De maneira análoga, mostre que
(b) Aplicando a primeira Lei de Kirchhoff a qualquer dos nós no circuito, mostre que
(c) Use a relação entre a corrente e a diferença de tensão em cada elemento do circuito para obter as equações
(d) Elimine , , e das equações (i) a (iv) para obter
Passo 1
Vamos começar desenhando o laço superior para aplicar a lei de Kirchhoff:
Como a corrente (em azul) atravessa o capacitor na direção positivo-negativo, a tensão é negativa. Da mesma forma, como a corrente passa pelo resistor na direção negativo-positivo a tensão é positiva. Além disso, como não temos fontes de tensão no laço a somatória das tensões é zero. Então:
Vamos agora para o segundo laço:
Como a corrente (em azul) atravessa o resistor na direção positivo-negativo, a tensão é negativa. Da mesma forma, como a corrente passa pelo indutor na direção negativo-positivo a tensão é positiva. Além disso, como não temos fontes de tensão no laço a somatória das tensões é zero. Então:
Passo 2
O próximo passo é aplicarmos a primeira Lei de Kirchhoff no circuito. Ela diz que a somatória das correntes que saem do nó é igual à soma das correntes que entram no nó. Vamos usar o seguinte nó para aplicar a lei:
Podemos ver que o nó que escolhemos possui três correntes saindo e que nenhuma corrente entra no nó. Então:
Pela primeira Lei de Kirchhoff:
Para um capacitor é válida a relação:
Então
A queda de tensão em um resistor é dada pela relação:
Para um indutor a queda é tensão pode ser escrita por:
Passo 3
Nosso último passo será usar as relações que encontramos aplicando as Leis de Kirchhoff para simplificar o sistema de equações:
Pela primeira Lei de Kirchhoff vimos que:
Substituindo as relações para a corrente no capacitor e no resistor:
Ficamos com:
Pela segunda Lei de Kirchhoff encontramos as relações:
Então
Portanto
Já chegamos à primeira relação pedida pelo item (b). Vamos agora encontrar a segunda equação.
Aplicando o resultado da segunda lei de Kirchhoff na relação de tensão para o indutor:
E chegamos ao sistema:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)