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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 12

(a) Transforme o sistema dado em uma única equação de segunda ordem.

x 1 ' = - 0,5 x 1 + 2 x 2 ;

x 2 ' = - 2 x 1 - 0,5 x 2

(b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições iniciais x 1 0 = - 2 , x 2 0 = 2 .

(c) Esboce o gráfico da solução no plano x 1 x 2 para t ≥ 0 .

Passo 1

O item (a) nos pede para resolver o sistema de equações. Para isso, vamos primeiro deixar x 2 em função de x 1 :

x 1 ' = - 1 2 x 1 + 2 x 2

x 2 = 1 2 x 1 ' + 1 4 x 1

Substituindo x 2 na segunda equação:

x 2 ' = - 2 x 1 - 0,5 x 2

1 2 x 1 ' + 1 4 x 1 ' = - 2 x 1 - 1 2 1 2 x 1 ' + 1 4 x 1

1 2 x 1 ' ' + 1 4 x 1 ' = - 2 x 1 - 1 4 x 1 ' - 1 8 x 1

4 8 x 1 ' ' + 2 8 x 1 ' = - 16 8 x 1 - 2 8 x 1 ' - 1 8 x 1

4 x 1 ' ' + 2 x 1 ' = - 16 x 1 - 2 x 1 ' - x 1

4 x 1 ' ' + 4 x 1 ' + 17 x 1 = 0

Se x 1 = e c t ,

x 1 ' = c e c t

x 1 ' ' = c 2 e c t

Então, nossa equação fica:

4 c 2 e c t + 4 c e c t + 17 e c t = 0

e c t 4 c 2 + 4 c + 17 = 0

4 c 2 + 4 c + 17 = 0

c = - 1 2 + 2 i   e   c = - 1 2 - 2 i

Então a solução para x 1 é:

x 1 = C 1 e ( - 1 2 + 2 i   ) t + C 2 e ( - 1 2 - 2 i ) t

Em que C 1 e C 2 são duas constantes quaisquer.

Agora que encontramos x 1 podemos usá-lo para obter x 2 :

x 2 = 1 2 x 1 ' + 1 4 x 1

x 2 = 1 2 C 1 e - 1 2 + 2 i   t + C 2 e - 1 2 - 2 i t ' + 1 4 C 1 e - 1 2 + 2 i   t + C 2 e - 1 2 - 2 i t

x 2 = 1 2 - 1 2 + 2 i   C 1 e - 1 2 + 2 i   t + - 1 2 - 2 i C 2 e - 1 2 - 2 i t + 1 4 C 1 e - 1 2 + 2 i   t + C 2 e - 1 2 - 2 i t

x 2 = i C 1 e - 1 2 + 2 i   t - i C 2 e - 1 2 - 2 i t

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar as funções x 1 ( t ) e x 2 ( t ) que também atendem aos valores de condição inicial x 1 0 = - 2 , x 2 0 = 2 .

Como vimos no item (a) a função x 1 que é solução do problema é:

x 1 = C 1 e ( - 1 2 + 2 i   ) t + C 2 e ( - 1 2 - 2 i ) t

Para t = 0 :

x 1 0 = - 2 = C 1 e 0 + C 2 e 0

- 2 = C 1 + C 2

Analogamente, encontramos a solução para x 2 :

x 2 = i C 1 e - 1 2 + 2 i   t - i C 2 e - 1 2 - 2 i t

Para t = 0 :

x 2 0 = 2 = i C 1 e 0 - i C 2 e 0

2 = i C 1 - i C 2

Ficamos então com o seguinte sistema:

- 2 = C 1 + C 2 2 = i C 1 - i C 2

- 2 = C 1 + C 2 2 i = - C 1 + C 2

Então:

- 2 + 2 i = 2 C 2 → C 2 = - 1 + i

C 1 = - 2 - C 2 → C 1 = - 1 - i

Substituindo as cosntantes C 1 e C 2 nas funções solução:

x 1 = - 1 - i e ( - 1 2 + 2 i   ) t + - 1 + i e ( - 1 2 - 2 i ) t

x 2 = 1 - i e - 1 2 + 2 i   t + 1 + i e - 1 2 - 2 i t

Passo 3

Nosso último passo é desenhar as curvas x 1 e x 2 que encontramos no item (b).

Mas antes vamos escrevê-las como:

e c i t = cos ⁡ c t + i sen ⁡ c t

Então:

x 1 = e - 1 2 t - 1 - i cos ⁡ 2 t + i sen ⁡ 2 t + - 1 + i cos ⁡ - 2 t + i sen ⁡ - 2 t

x 1 = e - 1 2 t - 1 - i cos ⁡ 2 t + i sen ⁡ 2 t + - 1 + i cos ⁡ 2 t - i sen ⁡ 2 t

x 1 = e - 1 2 t - 2 cos ⁡ 2 t + 2 sen ⁡ 2 t

x 1 = 2 e - 1 2 t sen ⁡ 2 t - cos ⁡ 2 t

E

x 2 = 1 - i e - 1 2 + 2 i   t + 1 + i e - 1 2 - 2 i t

x 2 = e - 1 2 t 1 - i cos ⁡ 2 t + i sen ⁡ 2 t + 1 + i cos ⁡ - 2 t + i sen ⁡ - 2 t

x 2 = e - 1 2 t 1 - i cos ⁡ 2 t + i sen ⁡ 2 t + 1 + i cos ⁡ 2 t - i sen ⁡ 2 t

x 2 = e - 1 2 t 2 cos ⁡ 2 t + 2 sen ⁡ 2 t

x 2 = 2 e - 1 2 t cos ⁡ 2 t + sen ⁡ 2 t

Elas são esboçadas a seguir:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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