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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 12bc

Considere a curva definida por σ t = 1 + 2 ln ⁡ 1 + t , 1 + 1 + t 2 ,       t > - 1

b) Dê uma equação cartesiana da curva

c) Esboce a curva

Passo 1

Pra gente conseguir a equação cartesiana vamos lembrar que

σ t = 1 + 2 ln ⁡ 1 + t , 1 + 1 + t 2 = x t , y t

x = 1 + 2 ln ⁡ 1 + t y = 1 + 1 + t 2

O truque de mestre vai ser sumir com o parâmetro. Pra isso, vamos focar em algo que eles tem em comum: o pedaço 1 + t . Isolando esse pedaço na primeira equação, temos:

x - 1 = 2 ln ⁡ 1 + t

x - 1 2 = ln ⁡ 1 + t

e x - 1 2 = 1 + t

Usando isso na segunda equação:

y = 1 + 1 + t 2

y = 1 + e x - 1 2 2

y = 1 + e x - 1

Passo 2

A forma mais molezinha de esboçar a curva é a partir da equação cartesiana. Pra começar, note que quando x = 0 , y = 1 + 1 e . Mas como toda boa exponencial, não temos a curva cortando o eixo O x . Então pra esboçar, é o suficiente fazer uma exponencial qualquer e por o intercepto 0 ,   1 + 1 e e o ponto que o enunciado deu 1,2 :

Resposta

b) y = 1 + e x - 1

c)

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