Verificar que a curva

r(t) = t * cos(t) * i + t * sen(t) * j + t * k, t >= 0

Está sobre um cone.

Passo 1

A ideia nessa questão será eliminar o termo t e verificar que chegamos na equação de um cone. Vem comigo! A curva que ele nos deu foi a seguinte:

vec r (t) = t c o s (t) vec i + t s e n (t) vec j + t vec k , t >= 0

Analisando a equação acima conseguimos montar o seguinte sistema:

{[[x = t c o s (t)],[y = t s e n (t)],[z = t]])

Passo 2

Da primeira equação do sistema:

cos (t) = (x)/(t)

E da segunda equação:

s e n (t) = (y)/(t)

Opa, mas lá da trigonometria a gente temos uma formula que relaciona o seno e o cosseno. Olha só:

s e n^2 (t) + cos^2 (t) = 1

Substituindo o que achamos:

((x)/(t))^2 + ((y)/(t))^2 = 1

Logo,

x^2 + y^2 = t^2

Lembra que eu disse que a ideia era eliminar o t ? Então vamos usar da terceira equação do sistema que z = t . Assim,

x^2 + y^2 = z^2

O que é exatamente a equação de um cone. Logo, a curva está sobre um cone.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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