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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 5b

5- Sejam f (x , y) = {[[(x^3)/(x^2 + y^2) , (x , y) != ( 0 , 0 )],[0 , (x , y) = ( 0 , 0 )]]) e u = (1 , 1) .

b)Calcule grad f (0,0) xx (u)/(‖u‖) .

Passo 1

b)Primeiro, vamos achar as derivadas parciais em (0 , 0) :

Cara, já logo te adianto logo que vamos ter que calcular as derivadas parciais que nos darão grad f (0,0) usando a definição. WHAT??? É isso mesmo.... Mas porque???

Gente, isso acontece porque a função muda de definição no ( 0 , 0 ) , que é justamente o ponto que o exercício quer. Se fosse em outro pontos nós poderíamos derivar normalmente a primeira expressão, mas fazer o que né ?! Dito isso, vamos logo desenrolar esse treco.

A derivada parcial de f em relação a x no ponto ( x_0 , y_0 ) é definida por:

(del f)/(del x) (x_0 , y_0) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x_0 + Delta x , y_0) - f (x_0 , y_0))/(Delta x)

Nós temos que:

f (x_0 + Delta x , y_0) = f (Delta x , 0) = (( Delta x )^3)/(( Delta x )^2)

f (x_0 , y_0) = 0

Substituindo nossos dados na fórmula da definição:

underset(Delta x -> 0)(lim) ((( Delta x )^3)/(( Delta x )^2) - 0)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(l i m ) (( Delta x )^3)/(( Delta x )^3) = 1

Agora, temos que fazer a mesma coisa para acharmos a derivada f em relação y (sim, eu sei que é chato ). Dessa forma,

A derivada parcial de f em relação a x no ponto ( x_0 , y_0 ) é definida por:

(del f)/(del y) (x_0 , y_0) = underset(Delta y -> 0)(lim) (f (x_0 , y_0 + Delta y) - f (x_0 , y_0))/(Delta y)

Nós temos que:

f (x_0 , y_0 + Delta y) = f (0 , Delta y) = (0)/(( Delta y )^2) = 0

f (x_0 , y_0) = 0

Substituindo nossos dados na fórmula da definição:

underset(Delta y -> 0)(lim) (0 - 0)/(Delta y) = 0

Assim, nós temos que:

grad f (0,0) = ( 1 , 0 )

Nem foi tão sofrido assim, né ?!

Passo 2

Gente, como nosso vetor não é unitário, temos que dividi-lo pela sua norma.

‖u‖ = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2)

Isso nos dá:

(u)/(‖u‖) = ((1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2)))

Por fim,

grad f (0,0) xx (u)/(‖u‖) = (1 , 0) xx ((1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2))) = (1)/(sqrt(2)) = (sqrt(2))/(2)

Resposta

(sqrt(2))/(2)

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