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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 7

Uma hipociclóide é a curva traçada por um ponto P sobre uma circunferência de raio b que gira dentro de uma circunferência fixa de raio a , a ≥ b . Suponha que a origem é o centro da circunferência fixa, A = ( a ,   0 ) é um dos pontos em que P toca a circunferência fixa, B é o ponto móvel de tangência das duas circunferência e que o parâmetro θ é o ângulo A O B . Mostre que as equações paramétricas da hipociclóide são:

x = a - b * cos ⁡ θ + b * cos ⁡ θ a - b b ,

y = a - b * sin ⁡ θ + b * sin ⁡ θ a - b b ,

θ ∈ [ 0 ,   2 π ]

Passo 1

Em primeiro lugar, vamos criar algumas visualizações:

Passo 2

Tendo O B → = a , com essas visualizações somos capazes de identificar x como:

x = a - b * cos ⁡ θ + b * sin ⁡ ψ

Para tornar as coisas mais fáceis devemos descobrir uma relação para o ângulo ψ :

90 - θ + ψ + ϕ = 180

ψ = 90 + θ - ϕ

Aplicando a relação obtida em x temos:

x = a - b * cos ⁡ θ + b * sin ⁡ 90 + ( θ - ϕ )

Porém, nós sabemos que:

sin ⁡ 90 + x = sin ⁡ 90 * cos ⁡ x + cos ⁡ 90 * sin ⁡ x

sin ⁡ 90 + x = sin ⁡ 90 * cos ⁡ x

sin ⁡ 90 + x = cos ⁡ x

Logo, temos que:

x = a - b * cos ⁡ θ + b * cos ⁡ θ - ϕ

Passo 3

Mas isso ainda não está do jeito que nós queremos (em função apenas de θ ), então vamos pensar da seguinte forma:

b * ϕ = a * θ

ϕ = θ * a b

Substituindo isso mais uma vez em x :

x = a - b * cos ⁡ θ + b * cos ⁡ θ - θ * a b

x = a - b * cos ⁡ θ + b * cos ⁡ θ ( b - a b )

Passo 4

A mesma lógica é utilizada para encontrarmos y , que é obtida através da seguinte subtração:

y = a - b * sin ⁡ θ - b * cos ⁡ ψ

Seguida das mesmas manipulações do passo anterior solucionadas para y :

y = a - b * sin ⁡ θ - b * cos ⁡ ( 90 + ( θ - ϕ ) )

y = a - b * sin ⁡ θ - b * - [ sin ⁡ θ - ϕ ]

y = a - b * sin ⁡ θ + b * sin ⁡ θ - θ * a b

y = a - b * sin ⁡ θ + b * sin ⁡ θ ( b - a b )

Resposta

Portanto, o par de equações paramétricas da hipociclóide é:

x = a - b * cos ⁡ θ + b * cos ⁡ θ b - a b ,

y = a - b * sin ⁡ θ + b * sin ⁡ θ b - a b ,

θ ∈ [ 0 ,   2 π ]

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Dê uma parametrização para cada uma das curvas.
Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta x = t y . A haste intercepta a reta y = 4 no ponto S e a elipse 4 x 2 + y - 2 2 = 4 no ponto Q . Quando t varia, o vértice P do triâng
Uma haste, presa na origem do plano x y , ocupa a posição da reta que faz um ângulo de θ radianos com o eixo positivo dos x . A haste intercepta a reta y = 2 a no ponto A e a circunferência x 2 + y -
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