29- Considere a equação a y ' ' + b y ' + c y = 0 Em que a , b e c são constantes com a ≠ 0 . Foi mostrado, no Capítulo 3 , que a solução geral depende das raízes da equação característica a r 2 + b r + c = 0 ( a ) Transforme a Eq ( i ) em um sistema de equações de primeira ordem fazendo x 1 = y ,x 2 = y ' . Encontre o sistema de equações x ' = A x satisfeito por x = x 1 x 2 ( b ) Encontre a equação que determina os autovalores da matriz de coeficientes A no item ( a ) . Note que essa equação é, simplesmente, a equação característica ( i i ) da Eq ( i ) .

a ) x 2 ' = - b a x 2 - c a x 1 x 1 ' = x 2 b )a r 2 + b r + c = 0

Enunciado

Como na letra , e então então:

Então substituindo:

Então já podemos colocar na base da matriz da seguinte forma:

Como já encontramos a matriz então a equação que determina os autovalores será:

Logo:

Agora fazendo essa determinante nós teremos:

O que nos dá:

O que é uma coisa muito maravilhosa de simples hahaha