Em cada um dos problemas de 24 a 27 , são dados os autovalores e autovetores de uma matriz A . Considere o sistema correspondente x ' = A x . ( a ) Esboce um retrato de fase do sistema ( b ) Esboce a trajetória que contém o ponto inicial ( 2,3 ) ( c ) Para a trajetória no item ( b ) . Esboce os gráficos de x 1 e de x 2 em função de t no mesmo conjunto de eixos. r 1 = - 1 ,ξ 1 = - 1 2 r 2 = 2 ,ξ 2 = 1 2

a )I m a g e md oP a s s o1 b )S e g u n d aI m a g e md oP a s s o2 c )I m a g e md oP a s s o3

Enunciado

Vamos encontrar a matriz desse sistema para que possamos plotar os gráficos que a questão pede:

Supondo que a matriz é

Nós teremos as seguintes relações com os autovalores e os autovetores:

A primeira matriz nos dá equações iguais a:

Já a segunda:

Comparando a primeira equação com a terceira e a segunda com a quarta nós teremos:

Portanto a matriz será igual a:

Nos dando um retrato de fase igual a:

Fazendo e nós teremos :

Onde é a horizontal e a vertical. Porém como a reta é crescente onde está o ponto então só teremos a parta a direita desse ponto. Ou seja:

Os valores de e em relação ao tempo podem ser encontradas da seguinte forma:

Portanto:

Como o ponto inicial é em e e então:

Resolvendo esse sistema teremos:

Nos deixando com:

Plotando esses dois gráficos nós teremos:

Onde a curva vermelha é e azul . E essa curva caracteriza um sistema instável. Assim como a figura do retrato de fase.