Considere a equação de Bessel de ordem v ,

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - v 2 y = 0 ,   x > 0 ,

em que v é a real e positivo.

c) Se 2v não for inteiro, mostre que a segunda solução será

y 2 x = = x - v [ 1 - 1 1 ! 1 - v x 2 2 + 1 2 ! 1 - v 2 - v x 4 4 + ∑ m = 3 ∞ - 1 m m ! 1 - v … m - v x 2 2 m

Note que y 1 x → 0 quando x → 0 e que y 2 ( x ) torna-se ilimitado quando x → 0 .

Passo 1

c) Assumingo que r 1 - r 2 = 2 v não é inteiro, simplesmente fazendo r = - v no resultado da letra b etemos umas segunda solução linearmente independente.

y 1 x = x - v 1 + ∑ m = 1 ∞ - 1 m m ! 1 - v ( 2 - v ) … ( m - 1 - v ) m - v x 2 2 m

Resposta

y 1 x = x - v 1 + ∑ m = 1 ∞ - 1 m m ! 1 - v ( 2 - v ) … ( m - 1 - v ) m - v x 2 2 m

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