Enunciado

Considere a equação de Bessel de ordem v ,

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - v 2 y = 0 ,   x > 0 ,

em que v é a real e positivo.

d) Verifique, por métodos diretos, que as séries de potências nas expressões para y 1 x   e   y 2 x   convergem absolutamente para todo x. Verifique, também, que y 2 é uma solução, bastando apenas que v não seja inteiro.

Passo 1

d) O valor absoluto da razão de termos consecutivos em y 1 ( x ) é

a 2 m + 2 x 2 m + 2 a 2 m x 2 m   = x 2 m + 2 2 2 m m ! 1 + v … ( m + v ) x 2 m 2 2 m + 2 m + 1 ! 1 + v … ( m + 1 + v )

= x 2 4 m + 1 m + 1 + v

Aplicando o teste

lim m → ∞ ⁡ a 2 m + 2 x 2 m + 2 a 2 m x 2 m   = l i m m → ∞ x 2 4 m + 1 m + 1 + v = 0

Logo, a série para y 1 ( x ) converge para todos os valores de x. O mesmo pode ser mostrado para y 2 ( x ) . Note ainda que se v é um número inteiro positivo, então o coeficiente na série para y 2 x   são indefinidos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso. y ' - y = x 2