Considere a equação de Bessel de ordem v , x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - v 2 y = 0 ,x0 , em que v é a real e positivo.d) Verifique, por métodos diretos, que as séries de potências nas expressões para y 1 xey 2 x convergem absolutamente para todo x. Verifique, também, que y 2 é uma solução, bastando apenas que v não seja inteiro.

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 9d

Considere a equação de Bessel de ordem

em que é a real e positivo.

d) Verifique, por métodos diretos, que as séries de potências nas expressões para convergem absolutamente para todo x. Verifique, também, que é uma solução, bastando apenas que não seja inteiro.

Passo 1

d) O valor absoluto da razão de termos consecutivos em é

Aplicando o teste

Logo, a série para converge para todos os valores de x. O mesmo pode ser mostrado para . Note ainda que se é um número inteiro positivo, então o coeficiente na série para são indefinidos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x 0 dado. x 2 - 2 x - 3 y ' ' + x y '

Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso. y ' - x y = 0

Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso. 1 - x y ' = y

Em cada um dos problemas de 1 a 4, determine ϕ ″ ( x 0 ) ,ϕ ‴ ( x 0 ) eϕ 4 ( x 0 ) para o ponto dado x 0 , se y=ϕ ( x 0 ) é uma solução do problema de valor inicial dado. y ' ' + x 2 y ' + sen ⁡ x y =

Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso. y ' - y = x 2