Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x₀ dado.

y'' + 4y' + 6xy = 0; x0 = 0, x0 = 4

Passo 1

Dado:

y ' ' + 4 y ' + 6 x y = 0 ;    

x 0 = 0

x 0 = 4

Então p ( x ) é o coeficiente de y ' , enquanto q ( x ) é o coeficiente de y :

p ( x ) = 4

q ( x ) = 6 x

A expansão da série Taylor para p é 4 , que converge para todos os x .

Se p e q são analíticos, então a solução geral é.

y = ∑ n = 0 + ∞ a n x n

Com o raio de convergência pelo menos tão grande quanto o mínimo dos raios de convergência das séries para p e q .

A expansão da série Taylor para p é 4 e para q é 6 x ,   que converge para todos os x .

Portanto, existe uma solução em série da forma y = ∑ n = 0 + ∞ a n x n , e essa série converge para todos os x .

Se a série convergir para todos os x , então o raio de convergência p é infinitamente grande.

p = + ∞

Resposta

p = + ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada uma das equações diferenciais nos problemas de 11 a 14, encontre os quatro primeiros termos não nulos em cada uma de duas soluções em série em torno da origem. Mostre que elas formam um conj
Usando o resultado do Problema 12, mostre que a solução geral da equação de Airy y'' - x y = 0 , x0 É y = x^(1/2) [ c1f1 ( 2/3 * i * x^(3/2) ) + c2f2 ( 2/3 * i * x^(3/2) ) ] ,em que f₁(ξ) e f₂(ξ) form
Pode-se mostrar que J 0 tem uma infinidade de zeros para x0 . Em particular, os três primeiros zeros são aproximadamente iguais a 2,405 ;5,520e8,653 (veja a Figura 5.7.1). Denote por λ j , j=1 ,2 ,3 ,
11. Encontre uma segunda solução da equação de Bessel de ordem um calculando os c_n(r_2) e a da E(q).(24) da Seção 5.6 de acordo com as fórmulas (19) e (20) daquela seção. Algumas diretrizes para esse
Em cada um dos problemas de 1 a 10:(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação i