Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x₀ dado.

y'' + 4y' + 6xy = 0; x0 = 0, x0 = 4

Passo 1

Dado:

y ' ' + 4 y ' + 6 x y = 0 ;    

x 0 = 0

x 0 = 4

Então p ( x ) é o coeficiente de y ' , enquanto q ( x ) é o coeficiente de y :

p ( x ) = 4

q ( x ) = 6 x

A expansão da série Taylor para p é 4 , que converge para todos os x .

Se p e q são analíticos, então a solução geral é.

y = ∑ n = 0 + ∞ a n x n

Com o raio de convergência pelo menos tão grande quanto o mínimo dos raios de convergência das séries para p e q .

A expansão da série Taylor para p é 4 e para q é 6 x ,   que converge para todos os x .

Portanto, existe uma solução em série da forma y = ∑ n = 0 + ∞ a n x n , e essa série converge para todos os x .

Se a série convergir para todos os x , então o raio de convergência p é infinitamente grande.

p = + ∞

Resposta

p = + ∞

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