Considere a equação , em que são constantes.
- Encontre todas as soluções de equilíbrio, ou constantes, desta equação diferencial.
- Denote por uma solução de equilibro, e seja Então é o desvio de uma solução de uma solução de equilíbrio. Encontre a equação diferencial satisfeita por .
Passo 1
Para resolvermos esse problema vamos fazer algumas suposições sobre o comportamento da nossa EDO para encontrar todas as soluções de equilíbrio. No segundo item, iremos substituir nosso resultado encontrado no item (a), com o acréscimo de um , que será o desvio, na EDO para encontrarmos qual a solução para .
Passo 2
- Bom, o enunciado nos pede para encontrar todas as soluções para o caso de equilíbrio, ou seja, para o caso onde . Para esse caso, temos que e , assim ficamos com nossa EDO na forma
- Temos que uma solução de equilíbrio, como já mostrado acima, é dada por
E essa são todas as soluções possíveis para a condição de equilíbrio.
Passo 3
Assim, podemos escrever uma outra solução como
Substituindo na nossa equação inicial, chegamos na seguinte relação
Sendo essa nossa equação satisfeita por .