Considere a equação diferencial d y d t = a y - b

(a)Encontre a solução de equilíbrio y e

(b) Seja Y t = y - y e , de modo que Y t é o desvio da solução de equilíbrio, encontre a equação diferencial satisfeita por Y t

Passo 1

a)Vamos agora ver como resolvemos edo do seguinte tipo:

d y d t = a y - b

Sabemos que y é função de t, portanto multiplicamos ambos os lados da equação por d t .

d y = a y - b d t ⇒ d y y - b a = a d t   c o m   a ≠ 0

Agora, integramos ambos os lados

∫ d y y - b a = ∫ a d t ⇒ ln ⁡ y - b a = a t + C  

⇒ y = c e a t + b a

Repara que para c = 0, temos a solução de equilíbrio.

Portanto y e = b a

Passo 2

b) Sabemos que y = c e a t + b a ,   então Y t =   c e a t , que é solução da equação

Y ' t =   a Y t

Resposta

y e = b a

Y ' t =   a Y t

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