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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 29

obtenha um campo de direção e trace o gráfico da solução particular ao longo do intervalo especificado. Use seu solucionador SAC para equações diferenciais para encontrar a solução geral da equação diferencial.

y ' = y ⋅ 2 - y ,   y 0 = 1 / 2

0 ≤ x ≤ 4 ,   0 ≤ y ≤ 3

Passo 1

Devemos resolver a equação diferencial ordinária e depois plotar o campo de direções e plotar a solução particular junto. Primeiramente devemos lembrar que y ' = d y / d x e assim poderemos escrever nossa equação separando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro

d y d x = y ⋅ 2 - y  

d y y ⋅ 2 - y = d x

Passo 2

Agora, podemos aplicar a integral em ambos os lados e obteremos

∫ d y y ⋅ 2 - y = ∫ d x

Resolveremos cada uma das integrais separadamente e depois vamos juntar em único resultado. Assim,

∫ d x = x + C 1

∫ d y y ⋅ 2 - y =   ∫ d y 2 y + ∫ d y 2 ⋅ ( 2 - y ) = ln ⁡ y 2 - ln ⁡ 2 - y 2 + C 2

Juntando ambos os resultados vamos obter

ln ⁡ y 2 - ln ⁡ 2 - y 2 + C 2 = x + C 1

ln ⁡ y 2 - ln ⁡ 2 - y 2 = x + K

Sendo k = C 1 - C 2

1 2 ⋅ ln ⁡ y 2 - y = x + K

Utilizando a condição inicial y 0 = 1 / 2

1 2 ⋅ ln ⁡ 1 / 2 2 - 1 / 2 = 0 + K

1 2 ⋅ ln ⁡ 1 3 = K

Nossa Solução particular vai ser

ln ⁡ y 2 - ln ⁡ 2 - y 2 = x + 1 2 ⋅ ln ⁡ 1 3

y 2 - y = 2 x - ln ⁡ 3

Passo 3

Por fim, utilizando um software de plotagem de gráficos vamos plotar o campo de direções para essa equação diferencial

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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