Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.4 - Ex. 4b

Considere a equação de Legendre (veja os problemas de 22 a 24 da Seção 5.3)

sujeita às condições de contorno

Os autovalores para esse problema são λ1 = 2, λ2 = 4 · 3, . . ., λn = 2n(2n – 1), . . . e as autofunções associadas são os polinômios de Legendre de grau ímpar.

Encontre uma solução formal do problema não homogêneo em que f é uma função dada, contínua em 0 ≤ x ≤ 1, e μ não é um autovalor do problema homogêneo associado.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

- 1 - x 2 y ' = μ y + f x

ϕ n x = P 2 n - 1 x

Para a função:

f x = ∑ c n ϕ n x

c 0 = ∫ f x ϕ n ( x ) d x ∫ [ ϕ n x ] ² d x

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

y = ∑ b n ϕ n x

λ m ≠ λ n

- 1 - x 2 y ' =   ∑ λ n b n ϕ n x

b n = c n λ n - μ

y x = ∑ c 0 λ n - μ   P 2 n - 1 x  

Resposta

y x = ∑ c 0 λ n - μ   P 2 n - 1 x  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nesse problema, esboçamos uma demonstração de que as autofunções do problema de Sturm-Liouville (1), (2) são reais..Mostre que φ tem que ser real, a menos de uma constante multiplicativa que pode ser
Nesse problema, esboçamos uma demonstração de que as autofunções do problema de Sturm-Liouville (1), (2) são reais..Sejam λ um autovalor e φ(x) = U(x) + iV(x) uma autofunção associada. Mostre que U e
Um rastreador não reativo em uma concentração c0 está sendo continuamente introduzido em um fluxo regular na extremidade rio acima de uma coluna de comprimento L cheia de um meio granular homogêneo. S
Substâncias dissolvidas em um aquífero são transportadas por dois mecanismos separados. O processo pelo qual um soluto é transportado pelo grande movimento do fluxo da água subterrânea é chamado de ad
Para cada uma das condições de contorno a seguir, encontre o menor autovalor (a força de deformação) de y ^(4) + λy′′ = 0 e encontre também a autofunção associada (a forma da coluna deformada).