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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 33

Resolva o problema de valores de contorno dado determinando a função de Green apropriada e expressando a solução como uma integral definida. Use as equações de (i) a (iv) do Problema 30.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

- y ' ' -   y =   f x

y x = C 1 cos ⁡ x + C 2 sin ⁡ x

Agora é só reescrever a equação diferencial.

y ' 0 = 0  

Com isso, temos a seguinte estrutura de equação:

y 1 x = cos ⁡ x

Usando a próxima definição das condições de contorno, tiramos:

y 1 = 0

C 2 =   - C 1 cos ⁡ 1 sin ⁡ 1

y 2 x = C 1 sin ⁡ 1 - x sin ⁡ 1

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

G x , s =   y 1 s y 2 x W y 1 , y 2   ,   0 ≤ s ≤ x y 1 x y 2 s W y 1 , y 2 ,   x ≤ s ≤ 1

ϕ x = ∫ 0 x G x , s f s d s + ∫ x 1 G x , s f s d s

Resposta

ϕ x = ∫ 0 x G x , s f s d s + ∫ x 1 G x , s f s d s

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