Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 23a

Nesse problema, esboçamos uma demonstração de que as autofunções do problema de Sturm-Liouville (1), (2) são reais..

Sejam λ um autovalor e φ(x) = U(x) + iV(x) uma autofunção associada. Mostre que U e V são também autofunções associadas a λ.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para atribuirmos a definição do operador de Sturn-Liouville e testar a dependência linear de autofunções. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a definição da teoria de Sturn-Liouville

Com isso, podemos assumir que:

Usando a definição, chegamos a

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - 1 + x 2 y ' ' = λ y + 1 , y - 1 = 0 ,y 1 = 0

Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo 1 + x 2 y ' ' + 4 y = 0 , y 0 = 0 ,y 1 = 1

Considere o problema.Mostre que, se φm e φn são autofunções associadas aos autovalores λm e λn, respectivamente, com λm ≠ λn, então

Considere o problema de valores de contorno. Resolva também o problema dado diretamente (sem introduzir uma variável nova).

Determine se o problema de valores de contorno dado é autoadjunto.