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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 28d

Um rastreador não reativo em uma concentração c0 está sendo continuamente introduzido em um fluxo regular na extremidade rio acima de uma coluna de comprimento L cheia de um meio granular homogêneo. Supondo que a concentração do rastreador na coluna é inicialmente nula, o problema de valores de contorno que modela o processo é

em que c(x, t) é a concentração do soluto, υ é a velocidade linear média da água subterrânea, D é o coeficiente da dispersão hidrodinâmica e L é o comprimento do aquífero.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

c x , t = c 0 + u x , t

u 0 , t = c 0 , t - c 0 = 0

Agora é só reescrever a equação diferencial.

u t + v u x = D u x t

Com isso, temos a seguinte estrutura de equações:

u x , 0 = c 0 u 0 , t = 0 u x L , t = 0  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

X n x = e v x 2 D sin ⁡ μ n x

μ n 2 = λ 0 - v 2 4 D 2 = λ 0 - 1

μ n = 2 n - 1 π 2 L

Resolvendo essa equação, temos que:

b n = 2 ∫ d x e - v x D sin ⁡ μ n x c 0 L - μ n - 1 sin ⁡ 2 μ n L

u x , t = ∑ b n   e - λ n D t   e v x 2 D sin ⁡ μ n x

A concentração decai com o tempo, se aproximando do estado estacionário em enos de 2 segundos.

Resposta

A concentração decai com o tempo, se aproximando do estado estacionário em enos de 2 segundos.

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Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo. - y ' ' = λ 1 + x 2 y , y 0 = 0 , y ' 1 + 3 y 1 = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo y ' ' + 4 y = 0 ,y - 1 = 0 ; y 1 = 0
Em cada um dos problemas de 12 a 15 , use o método do Problema 11 para colocar a equação dada na forma p x y ' ' + q x y = 0 x y ' ' + ( 1 - x ) y ' + λ y = 0( e q u a ç ã od eL a g u e r r e ) çã
Em cada um dos problemas de 12 a 15 , use o método do Problema 11 para colocar a equação dada na forma p x y ' ' + q x y = 0 x 2 y ' ' + x y ' + ( x 2 - v 2 ) y = 0( e q u a ç ã od eB e s s e l ) çã
Em cada um dos problemas de 1 a 6 , diga se o problema de valores de contorno dado é homogêneo ou não homogêneo - y ' ' + x 2 y = λ y , y ' 0 - y 0 = 0 , y ' 1 + y 1 = 0