Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 39
14.39. Determine os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.
Passo 1
Vamos começar manipulando um pouquinho nossa equação, vamos somar na equação
Isso é o mesmo que
Agora a gente tem uma função para a distância da origem.
Agora sim a gente pode fazer as derivadas parciais
E
Passo 2
Agora a gente pode achar os pontos críticos, fazendo
Então
Da primeira equação temos que
Substituindo na outra equação
O único resultado possível é .
Então
Logo .
Assim o nosso ponto crítico é
Passo 3
Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar
Podem ocorrer três casos:
- então é um mínimo local.
- então é um máximo local.
- então não é nem mínimo e nem máximo local.
Vamos calcular as segundas derivadas então
Só o termo depende de , então
A outra derivada que precisamos é
Só o termo depende de , então
E a última derivada que precisamos é
ou
Vamos derivar isso em relação a
Então
Isso é igual
Então para qualquer ponto
Mas ainda precisamos de mais uma informação,
Então esse ponto é de mínimo.
Substituindo esse ponto na equação de superfície chegamos em
O que nos leva à
Então os pontos que estão mais próximos da origem são