Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 58
Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos sanguíneos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carrega dois alelos diferentes é
Onde , e são as proporções de A, B e O na população. Use o fato de que para mostrar que é no máximo .
Passo 1
Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
Aqui estamos encarando mais uma situação de máximos e mínimos.
Queremos provar que o valor máximo da função:
É:
E para isso primeiro iremos transformar a nossa função de três variáveis em uma função de duas variáveis.
Iremos fazer isso sabendo que:
Depois iremos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero. Com os pontos críticos em mão, iremos utilizar o testa da segunda derivada.
Ele diz o seguinte:
Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:
- Se e , então é um mínimo local;
- Se e , então é um máximo local;
- Se , não é nem máximo e nem mínimo local.
Então vamos começar com os cálculos.
Passo 2
Bom galera, vamos isolar :
Ai, a gente só substitui :
Realizando a distributiva:
Essa é a nossa função em termos de duas variaveis.
Passo 3
Beleza, vamos encontrar o ponto critico agora, igualando a derivada parcial á :
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais:
Derivando em relação a e considerando todas as outras como constantes:
Agora vamos fazer o mesmo para :
Temos então que encontrar os pontos críticos:
Resolvendo o sisteminha:
Encontramos:
Substituindo na equação:
Temos então que:
Temos que:
Passo 4
Por fim, a gente usa a segunda derivada:
E como e então temos que nosso ponto critico é ponto de máximo.
Agora a gente só substitui em e em :
Pronto, a gente provou, fácil né?
Resposta
Ver o desenvolvimento.