Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 8
Considere a função
a) Determine uma função , que não envolva radicais, tal que a função dada seja definida implicitamente pela equação .
b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função dada no ponto .
Passo 1
O exercício fornece uma função e pede para acharmos uma função tal que seja uma superfície de nível. Como foi pedido que essa função não envolva radicais, o primeiro passo é elevar a equação à quarta:
Passando o multiplicando:
Assim, vamos chamar
Passo 2
Já no item (b) é pedida a equação do plano tangente no ponto . Como o gradiente de uma função de três variáveis é ortogonal às superfícies de nível, tomando o gradiente de nós teremos o vetor normal ao plano tangente:
Assim, no ponto :
Por simplicidade, como só estamos interessados na direção do vetor, vamos considerar como vetor normal.
Passo 3
A equação do plano é dada por
Assim,
Logo,
Portanto,