Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.1 - Ex. 1a
Determine como no teorema do valor médio, sendo dados:
Passo 1
Se ligue que a questão quer que a gente use o TVM, então precisamos deixar nossa função nas condições do teorema, né?
Não lembra quais são as hipóteses? Tá, vou colocar aqui pra você:
“Dados um conjunto A aberto do e dois pontos de A tais que o segmento esteja contido em A. Nestas condições, se é diferenciável em A, então existirá pelo menos um ponto interno ao segmento tal que:
”
Então, precisamos definir um conjunto em que os pontos e esteja dentro e que seja aberto, como por exemplo
Além disso, man, a função que nos foi dada é uma função polinomial, que é diferenciável no inteiro, em particular, a função é diferenciável n conjunto A. E como construímos o conjunto A de modo que os pontos estivessem dentro, podemos usar o teorema, beleza?
Ou seja, existe um ponto
Tal que
Passo 2
Vamos encontrar o gradiente da função para poder substituir na expressão acima,
Daí, para temos que . Substituindo,
Vamos resolver o lado direito da igualdade, certo? Temos que é o produto interno canônico do e é resolvido da seguinte forma:
Substituindo,
Passo 3
O ponto que precisamos, segundo o TVM, vai tá no segmento . Então ele satisfaz a equação da reta que passa pelos pontos com a restrição .
Sabendo que a equação da reta é dada por
Onde
Substituindo os pontos,
Sendo assim, o ponto que desejamos deve satisfazer ao sistema
Da primeira equação, temos que
Substituindo na segunda equação,
Logo, o ponto que temos que precisávamos encontrar é