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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 25

Seja F r , θ , ϕ = f ( x , y , z ) , com x = r   s e n   ϕ cos ⁡ θ , y = r   s e n   ϕ   s e n   θ e z = r cos ⁡ ϕ , onde f é suposta diferenciável num aberto do R 3 . Prove que

∇ f x , y , z = ∂ F ∂ r r , θ , ϕ   u → + 1 r   s e n   ϕ ∂ F ∂ θ r , θ , ϕ   v → + 1 r ∂ F ∂ ϕ r , θ , ϕ   w → ,

onde u → = s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   s e n   ϕ   s e n   θ , cos ⁡ ϕ , v → = ( - s e n   θ , cos ⁡ θ ,   0 ) e w → = cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ , cos ⁡ ϕ   s e n   θ ,   - s e n   ϕ .

Passo 1

Esse é um problema que pede para deduzirmos uma fórmula para o gradiente em coordenadas cilíndricas

x = r   s e n   ϕ cos ⁡ θ y = r   s e n   ϕ   s e n   θ z = r cos ⁡ ϕ

Vamos considerar a base u → , v → , w → , com u → = s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   s e n   ϕ   s e n   θ , cos ⁡ ϕ , v → = ( - s e n   θ , cos ⁡ θ ,   0 ) e w → = cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ , cos ⁡ ϕ   s e n   θ ,   - s e n   ϕ . Note que todos os vetores da base são unitários e dois a dois ortogonais. Trata-se, portanto, de uma base ortonormal, de modo que podemos usar o resultado do exercício 23:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ u → x , y , z   u → + ∂ f ∂ v → x , y , z   v → + ∂ f ∂ w → x , y , z   w →

O que temos que fazer agora é provar que

∂ f ∂ u → x , y , z = ∂ F ∂ r r , θ , ϕ

∂ f ∂ v → x , y , z = 1 r   s e n   ϕ ∂ F ∂ θ r , θ , ϕ

∂ f ∂ w → x , y , z = 1 r ∂ F ∂ ϕ r , θ , ϕ

Passo 2

Vamos proceder da seguinte maneira: primeiro vamos derivara F com relação a r usando a regra da cadeia:

∂ F ∂ r = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r + ∂ f ∂ z ⋅ ∂ z ∂ r

Para continuarmos, precisamos das derivadas de x , y e z com relação a r :

∂ x ∂ r = s e n   ϕ cos ⁡ θ ,           ∂ y ∂ r = s e n   ϕ   s e n   θ         e           ∂ z ∂ r = cos ⁡ ϕ

Assim,

∂ F ∂ r = ∂ f ∂ x ⋅ s e n   ϕ cos ⁡ θ + ∂ f ∂ y ⋅ s e n   ϕ   s e n   θ + ∂ f ∂ z ⋅ cos ⁡ ϕ = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ⋅ ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   0 )

Então,

∂ F ∂ r = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ⋅ s e n   ϕ cos ⁡ θ , s e n   ϕ   s e n   θ , cos ⁡ ϕ  

Portanto,

∂ F ∂ r = ∇ f ⋅ u → = ∂ f ∂ u →

Provamos a primeira relação! Agora fazemos o mesmo para as demais:

∂ F ∂ θ = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ + ∂ f ∂ z ⋅ ∂ z ∂ θ

Como

∂ x ∂ θ = - r   s e n   ϕ   s e n   θ ,           ∂ y ∂ θ = r   s e n   ϕ cos ⁡ θ         e         ∂ z ∂ θ = 0  

temos que

∂ F ∂ θ = ∂ f ∂ x ⋅ ( - r   s e n   ϕ   s e n   θ ) + ∂ f ∂ y ⋅ ( r   s e n   ϕ cos ⁡ θ ) + ∂ f ∂ z ⋅ 0

Assim,

∂ F ∂ θ = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ⋅ - r   s e n   ϕ   s e n   θ , s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   0 = r   ∇ f ⋅ v →

Logo,

⇒ ∇ f ⋅ v → = ∂ f ∂ v → = 1 r   s e n   ϕ ∂ F ∂ θ

Passo 3

Por fim,

∂ F ∂ ϕ = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ ϕ + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ ϕ + ∂ f ∂ z ⋅ ∂ z ∂ ϕ = ∇ f ⋅ ( r cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   r cos ⁡ ϕ   s e n   ϕ ,   - r   s e n   ϕ )

Logo,

∂ F ∂ ϕ = r   ∇ f ⋅ w → = r ∂ f ∂ w →

Portanto,

∂ f ∂ w → = 1 r ∂ F ∂ ϕ

Assim, concluímos que

∇ f x , y , z = ∂ F ∂ r r , θ , ϕ   u → + 1 r   s e n   ϕ ∂ F ∂ θ r , θ , ϕ   v → + 1 r ∂ F ∂ ϕ r , θ , ϕ   w →

Resposta

Demonstração.

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Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada por θ f x , y = y e - x , 0,4 , θ = 2 π 3
Calcule a derivada direcional de f x , y = 2 x 2 + y 2 No ponto (-1,1) e na direção 2i → + 3j → .
Uma função diferenciável f x , y tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção 3i → + 4j → e igual a -1 na direção 4i → - 3j → . Calcule: ∇ f → ( 1,1 ) ∂ f ∂ u → ( 1,1 ) onde u → é o v