Considere a integral ∫ 1 x 3 - x d x ( a ) Calcule a integral usando a substituição x = sec ⁡ θ . Com quais valores de x sua resposta é válida? ( b ) Calcule a integral usando a substituição x = sin ⁡ θ . Com quais valores de x sua resposta é válida? ( c ) Calcule a integral usando o método das frações parciais. Com quais valores de x sua resposta é válida?

a ln ⁡ x 2 - 1 x + C ;{ x1 } b ln ⁡ x 2 + 1 | x | + C ;{ 0x1 } c - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C ;{ x = 0 ; - 1 ; + 1 }

Enunciado

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente começar substituindo:

Vamos substituir na integral:

E é valido para todo , pois não existe raiz negativa e nem logaritmo de valor negativo.

Belezinha, agora com a outra substituição:

Ai nossa integral fica:

Sendo valido entre:

Por fim, a gente usa o método de frações parciais:

Pra isso vamos separar a nossa função em três frações:

Logo, podemos resolver a integral em três partes:

Sendo válido pra .