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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 33

Considere a integral

∫ 1 x 3 - x d x

( a ) Calcule a integral usando a substituição x = sec ⁡ θ . Com quais valores de x sua resposta é válida?

( b ) Calcule a integral usando a substituição x = sin ⁡ θ . Com quais valores de x sua resposta é válida?

( c ) Calcule a integral usando o método das frações parciais. Com quais valores de x sua resposta é válida?

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente começar substituindo:

x = sec ⁡ θ

d x = - csc 2 ⁡ θ d θ

Vamos substituir na integral:

∫ 1 x 3 - x d x = ∫ 1 sec 3 ⁡ θ - sec ⁡ θ - csc 2 ⁡ θ d θ

= ∫ cot ⁡ θ d θ = ln ⁡ sin ⁡ x + C

= ln ⁡ x 2 - 1 x + C

E é valido para todo x > 1 , pois não existe raiz negativa e nem logaritmo de valor negativo.

Passo 2

Belezinha, agora com a outra substituição:

x = sin ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

Ai nossa integral fica:

∫ 1 x 3 - x d x = ∫ cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ - sin ⁡ θ d θ

= - ∫ 1 sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 2 ∫ 2 csc ⁡ θ d θ

= - ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ 2 θ + C

= ln ⁡ | cot ⁡ θ | + C

= ln ⁡ 1 + x 2 | x | + C

Sendo valido entre:

0 < x < 1

Passo 3

Por fim, a gente usa o método de frações parciais:

Pra isso vamos separar a nossa função em três frações:

1 x 3 - x = A x + B x - 1 + C x + 1

= - 1 x + 1 2 x - 1 + 1 x + 1

Logo, podemos resolver a integral em três partes:

∫ 1 x d x + ∫ 1 2 x - 1 d x + ∫ 1 x + 1 d x

= - ln ⁡ x + C + 1 2 ln ⁡ x - 1 + C + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

= - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

Sendo válido pra x = 0 ; - 1 ; + 1 .

Resposta

a ln ⁡ x 2 - 1 x + C ;   { x > 1 }

b ln ⁡ x 2 + 1 | x | + C ;   { 0 < x < 1 }

c - ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C ;   { x = 0 ; - 1 ; + 1 }

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