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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 25

Calcule a integral

int (4 x)/(x^3 + x^2 + x + 1) d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 👀

Nesse problema temos que calcular a integral

int (4 x)/(x^3 + x^2 + x + 1) d x

Tem ideia de como fazemos isso? 😉

Nossa integral é a seguinte: I = int (4 x)/(x^3 + x^2 + x + 1) d x

A ideia nesse tipo de questão é fatorar os polinômios e usar frações parciais. Vamos começar pelo denominador.

x^3 + x^2 + x + 1

Colocando x^2 em evidencia nos dois primeiros termos:

x^2 (x + 1) + (x + 1)

Agora vamos colocar o x + 1 em evidencia:

(x + 1) (x^2 + 1)

Veja só! 😉

Passo 2

Então, nossa expressão fica assim ó:

(4 x)/(x^3 + x^2 + x + 1) = (4 x)/((x + 1) (x^2 + 1))

Separando em frações parciais:

(4 x)/((x + 1) (x^2 + 1)) = (A)/(x + 1) + (B x + C)/(x^2 + 1)

Logo,

(4 x)/((x + 1) (x^2 + 1)) = (A (x^2 + 1) + (B x + C) (x + 1))/((x + 1) (x^2 + 1))

Então,

(4 x)/((x + 1) (x^2 + 1)) = (x^2 (A + B) + x (B + C) + (A + C))/((x + 1) (x^2 + 1))

Montando um sistema, temos:

{[[A + B = 0],[B + C = 4],[A + C = 0]])

Então,

A = - 2 , B = 2 e C = 2

Voltando para nossa expressão:

(4 x)/((x + 1) (x^2 + 1)) = (- 2)/(x + 1) + (2 x + 2)/(x^2 + 1)

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora substituímos na integral...

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Não esquece: int (d u)/(1 + u^2) = arctan (u) + c

Agora vamos integrar!

I = int ((- 2)/(x + 1) + (2 x + 2)/(x^2 + 1)) d x

Quebrando em duas partes:

I = int (- 2)/(x + 1) d x + int (2 x + 2)/(x^2 + 1) d x

Tirando o que é constante da integral:

I = - 2 * int (1)/(x + 1) d x + 2 * int (x + 1)/(x^2 + 1) d x

Então,

I = - 2 * int (1)/(x + 1) d x + 2 * (int (x)/(x^2 + 1) d x + int (1)/(x^2 + 1) d x)

Agora vamos resolver essas integrais separadamente!

Para a primeira, temos:

int (1)/(x + 1) d x = ln |x + 1| + C_1

Já a segunda não é tão imediata, olha só:

int (x)/(x^2 + 1) d x

Fazendo u = x^2 + 1 -> d u = 2 x d x

int (1)/(u) (d u)/(2) = (1)/(2) ln |u| = (1)/(2) ln |x^2 + 1| + C_2

Por fim,

int (1)/(x^2 + 1) d x = a r c t g (x) + C_3

Juntando tudo, temos:

I = 2 (ln |x + 1| + C_1) + 2 (((1)/(2) ln |x^2 + 1| + C_2) + (a r c t g (x) + C_3))

Isto é,

I = 2 ln |x + 1| + ln |x^2 + 1| + 2 a r c t g (x) + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

I = 2 ln |x + 1| + ln |x^2 + 1| + 2 a r c t g (x) + C

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