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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 33

Calcule a integral

int_0^1 (x^3 + 2 x)/(x^4 + 4 x^2 + 3) d x

Passo 1

Nossa integral é a seguinte: I = int_0^1 (x^3 + 2 x)/(x^4 + 4 x^2 + 3) d x

Como esse denominador é meio feio, podemos fazer uma substituição de variável. Olha só:

u = x^4 + 4 x^2 + 3

Derivando,

d u = 4 x^3 + 8 x -> d u = 4 ( x^3 + 2 x )

Passo 2

Como fizemos uma substituição de variável, vamos trocar os limites de integração. Logo,

x = 0 -> u = 0^4 + 4 * 0^2 + 3 = 3

x = 1 -> u = 1^4 + 4 * 1^2 + 3 = 8

Nossa integral era:

I = int_0^1 (x^3 + 2 x)/(x^4 + 4 x^2 + 3) d x

E vai ficar o seguinte:

I = int_3^8 (1)/(u) (d u)/(4)

Isto é,

I = (1)/(4) * int_3^8 (d u)/(u)

Passo 3

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Agora vamos integrar!

I = (1)/(4) * int_3^8 (d u)/(u)

Logo,

I = (1)/(4) * ln |u| |_3^8

Assim,

I = (1)/(4) * (ln |8 |- l n| 3|)

Então,

I = (1)/(4) ln ((8)/(3))

Resposta

(1)/(4) ln ((8)/(3))

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