Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 29
Considere a lei do fluxo laminar dada no exemplo 7. Considere um vaso sanguíneo com raio , comprimento , diferença de pressão e a viscosidade .
- Encontre a velocidade do sangue ao longo do eixo central , no raio , e na parede
- Encontre o gradiente da velocidade em
- Onde a velocidade é máxima? Onde a velocidade varia mais?
Passo 1
Fala aí! como vai?
Nesse problema temos que usar a equação do exemplo com , e .
Do exemplo 7, temos que
A partir dessa equação queremos encontrar a velocidade do sangue onde , e quando .
Além disso foi pedido o gradiente da velocidade nesses pontos e também temos que determinar onde a velocidade é máxima e onde a velocidade mais varia.
Parece complicado?
Do enunciado, temos , e
Então, temos que é uma função de ()
Para responder o item a), vamos simplesmente substituir na equação.
No item b), o gradiente da velocidade é dado pela derivada da função , então vamos calcular a derivada de em função de e substituir os pontos que foram pedidos.
E no item c), vamos analisar os resultados do item a) e dizer onde a velocidade é maior e onde ela mais varia pelo resultado do item b)...
Bora lá!
Passo 2
Agora, basta substituirmos em 0,01.
i)
ii)
iii)
Tranquilo até aqui?
Passo 3
O gradiente é dado pela derivada, logo, basta derivarmos em relação a .
Pela regra da potencia, temos
Pelo enunciado, temos que . Então
Show?
Passo 4
Agora, basta substituirmos na expressão de . Daí, temos
i)
ii)
iii)
Bacana, não é?
Passo 5
A velocidade é maior onde (no centro) pelo que podemos ver no item a) e a velocidade está mudando mais onde (na borda) de acordo com o gradiente de velocidade no item b).
E é isso! Entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
a) i) ,
ii),
iii) ,
b) i) ,
ii) ,
iii) ,
c) A velocidade é maior onde (no centro) e a velocidade está mudando mais onde (na borda).