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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 39

Se dois resistores com resistências R 1 e R 2 estão conectados em paralelo, como na figura, então a resistência total R , medida em ohms ( Ω ) , é dada por:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2

Se R 1 e R 2 estão crescendo a taxas de 0,3   Ω / s e 0,2   Ω / s , respectivamente, quão rápido estará variando R quando R 1 = 80   Ω e R 2 = 100   Ω ?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos dois resistores com resistências R 1 e R 2 estão conectados em paralelo, assim:

a resistência total R , medida em ohms ( Ω ) , é dada calculada usando a seguinte fórmula:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2

Temos que:

R 1 ' t = 0,3   Ω / s

R 2 ' t = 0,2   Ω / s

E queremos:

R ' t = ? ? ?

Quando R 1 = 80   Ω e R 2 = 100   Ω .

Passo 2

Para derivar aqui deveremos utilizar a regra do quociente para derivadas:

d d x u v = v u ' - u v ' v 2

Primeiramente, derivando a função em relação ao tempo t em segundos temos:

- R ' t R 2 = - R 1 ' t R 1 2 - R 2 ' ( t ) R 2 2

R ' t = R 2 R 1 ' t R 1 2 + R 2 ' t R 2 2

Quando R 1 = 80   Ω e R 2 = 100   Ω , então R é dado por:

1 R = 1 80 + 1 100 = 9 400

R = 400 9   Ω

Passo 3

Portanto, quando R 1 ' t = 0,3   Ω / s , R 2 ' t = 0,2   Ω / s ,   R = 400 9 , R 1 = 80   Ω e R 2 = 100   Ω , temos:

R ' t = R 2 R 1 ' t R 1 2 + R 2 ' t R 2 2

R ' t = 400 9 2 0,3 80 2 + 0,2 100 2

R ' t = 107 810   Ω / s  

Logo, a taxa com que R varia é 107 810   Ω / s .

Resposta

A taxa com que R varia é 107 810   Ω / s .

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