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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 1

Em cada um dos problemas de 1 a 4:

(a) Desenhe um campo de direções e esboce algumas trajetórias.

(b) Descreva como as soluções se comportam quando t   →   ∞ .

(c) Encontre a solução geral do sistema de equações.

x ' = 3 - 4 1 - 1 x

Passo 1

Para (b). Faremos uma breve analise após o desenharmos as direções do campo e suas trajetórias, ou podemos calculara letra (c) e aplicaremos para t tendendo a infinito e veremos o resultado deste limite ou analise gráfica.

Na letra (c) encontraremos os autovalores e autovetores da matriz e por final aplicaremos a formula da solução geral.

Passo 2

a)A direção do campo do problema:

c) Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 3 - 4 1 - 1 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 3 - r - 4 1 - 1 - r

det ⁡ A - r I = r 2 - 2 r + 1

Tendo as raízes:

r 1,2 = 1

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 1 , temos:

A - r I ξ = 0

2 - 4 1 - 2 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 = 2 ξ 2

Para r = 1 :

ξ 1 = 2 1

x ( 1 ) t = 2 1 ∙ e t

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:

2 - 4 1 - 2 ∙ η 1 η 2 = 2 1

Temos que:

η 1 - 2 η 2 = 1

Assumindo η 2 = k , teremos:

η 1 = 2 k + 1

Aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = 2 1 t e t + 2 k + 1 k e t = 2 1 t e t + 1 0 e t + k 2 1 e t

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 2 1 e t + c 2 2 1 t e t + 1 0 e t

Passo 3

b)Aplicando limite de t → ∞ , temos:

lim t → ∞ ⁡ x 1 t = lim t → ∞ ⁡ x 2 t = ∞

Resposta

b) lim t → ∞ ⁡ x 1 t = lim t → ∞ ⁡ x 2 t = ∞

c)

x = c 1 2 1 e t + c 2 2 1 t e t + 1 0 e t

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