Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 9
Considere o polinômio , com , , , e constantes. Suponha que exista tal que, para todo ,
Prove que em .
Passo 1
Bom, temos um polinômio definido em :
Por hipótese, temos que existe um tal que para todo :
Queremos mostrar que com essa hipótese, . Para isso, vamos tentar provar que , e nessa ordem!
Passo 2
Para provar que , basta escolher e (podemos fazer isso pois a relação dada na hipótese vale para todo ). Assim, temos que
A única forma possível de é se .
Agora vamos escolher e deixar o ser qualquer coisa. Neste caso:
Assim,
Portanto,
Essa relação deve valer para qualquer , inclusive para , de modo que
Passo 3
Por fim, podemos escolher agora e deixar o livre. Assim,
Ou ainda,
Fazendo agora , obtemos , de modo que .
Provamos então que . Portanto,
Resposta
Demonstração.
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Sejam f ( x , y ) = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1,1).b) Avalie o erro que se comete na aproximação do item a).(Sugestão. Utilize o Exercíci
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Expresse o polinômiof (x , y) = x^3 + 2 x^2 y + 3 y^3 + x - y - (x_0 , y_0) = ( 1,1 ) como soma de termos do tipoa (x - 1)^p (y - 1)^q