Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 9
Considere o polinômio , com , , , e constantes. Suponha que exista tal que, para todo ,
Prove que em .
Passo 1
Bom, temos um polinômio definido em :
Por hipótese, temos que existe um tal que para todo :
Queremos mostrar que com essa hipótese, . Para isso, vamos tentar provar que , e nessa ordem!
Passo 2
Para provar que , basta escolher e (podemos fazer isso pois a relação dada na hipótese vale para todo ). Assim, temos que
A única forma possível de é se .
Agora vamos escolher e deixar o ser qualquer coisa. Neste caso:
Assim,
Portanto,
Essa relação deve valer para qualquer , inclusive para , de modo que
Passo 3
Por fim, podemos escolher agora e deixar o livre. Assim,
Ou ainda,
Fazendo agora , obtemos , de modo que .
Provamos então que . Portanto,
Resposta
Demonstração.
Exercícios de Livros Relacionados
Sejam f ( x , y ) = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1,1).b) Avalie o erro que se comete na aproximação do item a).(Sugestão. Utilize o Exercíci
Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 0,0 ) Mostre que para todo ( x , y ) com x + 5 y1 e x + 5 y - P 1 x , y3 2 x + 5 y 2
Seja P 2 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 2 de f x , y = x sin y → x 0 ,y 0 = 0,0 Mostre que f x , y - P 2 x , yy 2 2 x + y 3 ,x1
Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Prove que existe uma função φ ( x , y ) definida em A tal que, para todo (x,y) em A. f x , y - P 2 x , y =φ x , y x , y - x 0
Expresse o polinômio f x , y = x 3 + 2 x 2 y + 3 y 3 + x - y → x 0 , y 0 = ( 1,1 ) como soma de termos do tipo a x - 1 p y - 1 q