Considere o polinômio , com , , , e constantes. Suponha que exista tal que, para todo ,
Prove que em .
Passo 1
Bom, temos um polinômio definido em :
Por hipótese, temos que existe um tal que para todo :
Queremos mostrar que com essa hipótese, . Para isso, vamos tentar provar que , e nessa ordem!
Passo 2
Para provar que , basta escolher e (podemos fazer isso pois a relação dada na hipótese vale para todo ). Assim, temos que
A única forma possível de é se .
Agora vamos escolher e deixar o ser qualquer coisa. Neste caso:
Assim,
Portanto,
Essa relação deve valer para qualquer , inclusive para , de modo que
Passo 3
Por fim, podemos escolher agora e deixar o livre. Assim,
Ou ainda,
Fazendo agora , obtemos , de modo que .
Provamos então que . Portanto,
Resposta
Demonstração.