Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 2a

Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f   em volta de ( 0,0 )

  1. Mostre que para todo ( x , y ) com x + 5 y < 1

e x + 5 y - P 1 x , y < 3 2 x + 5 y 2

Passo 1

Fala galeraaaa! Então, como estamos falando de polinômio de Taylor, vale lembrar o seguinte: toda aproximação tem um erro! Seja f x , y uma função que queremos aproximar por um polinômio de Taylor de primeira ordem P 1 x , y , vamos ter:

f x , y = P 1 x , y + E x , y

Onde E x , y é o erro da aproximação. Show de bola, mas como isso ajuda? Veja só o seguinte, sabemos f x , y e podemos mexer um pouco na equação acima:

e x + 5 y = P 1 x , y + E x , y

e x + 5 y - P 1 x , y = E x , y

Opa, sendo assim, o que o enunciado quer de verdade é que provemos:

e x + 5 y - P 1 x , y < 3 2 x + 5 y 2

E x , y < 3 2 x + 5 y 2

Para todo ( x , y ) com x + 5 y < 1 . Mãos a obra então!

Passo 2

Show, como a aproximação é de primeira ordem, a expressão do erro vai ser:

E x , y = 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y -     x - x 0 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   x - x 0 y - y 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y -   y - x 0 2

Vamos precisar de umas derivadas aí né? As primeiras vão ser:

∂ f ∂ x = ∂ e x + 5 y ∂ x = d x + 5 y d x ∙ e x + 5 y = e x + 5 y

∂ f ∂ y = ∂ e x + 5 y ∂ y = d x + 5 y d y ∙ e x + 5 y = 5 e x + 5 y

E as no interior da expressão do erro serão:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ f ∂ x ∂ x = ∂ e x + 5 y ∂ x = d x + 5 y d x ∙ e x + 5 y = e x + 5 y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ e x + 5 y ∂ y = d x + 5 y d y ∙ e x + 5 y = 5 e x + 5 y

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ f ∂ y ∂ y = ∂ 5 e x + 5 y ∂ y = 5 ∙ d x + 5 y d y ∙ e x + 5 y = 25 ∙ e x + 5 y

Portanto, o cálculo do Erro fica:

E x , y = 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x - ,   y -     x - 0 2 + 2   ∂ 2 f ∂ x ∂ y x - ,   y -   x - 0 y - 0 +   ∂ 2 f ∂ y 2 x - ,   y -   y - 0 2

E x , y = 1 2 x 2 e x - + 5 y - + 10 x y   e x - + 5 y - +   25 y 2 e x - + 5 y -

E x , y = e x - + 5 y - 2 x 2 + 10 x y +   25 y 2

E x , y = e x - + 5 y - 2 x + 5 y 2

Passo 3

Beleza, agora que a gente põe a cuca pra funcionar, veja bem, já que estamos supondo que:

x + 5 y < 1

Vai valer também:

x - + 5 y - < 1

Entãããão, daí, podemos ir mexendo na inequação até E x , y aparecer:

e x - + 5 y - < e 1

e x - + 5 y - 2 < e 1 2

e x - + 5 y - 2 x + 5 y 2 < e 2 x + 5 y 2

E x , y < e 2 x + 5 y 2

Veja ainda que:

E x , y > 0

e 2 x + 5 y 2 > 0

Portanto é válido que:

E x , y < e 2 x + 5 y 2

Opa, agora a coisa ficou interessante. Afinal, tínhamos que provar que:

E x , y < 3 2 x + 5 y 2

Veja que como:

e < 3

Temos também:

e 2 x + 5 y 2 < 3 2 x + 5 y 2

E loooogo:

E x , y < e 2 x + 5 y 2 < 3 2 x + 5 y 2

E x , y < 3 2 x + 5 y 2

Provadíssimo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o polinômio P x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c , com a , b , c , x 0 e y 0 constantes. Suponha que exista M0 tal que, para todo ( x , y ) , P x , y ≤ Mx , y - x 0 , y 0 2 Prove que P x , y
Seja f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A ⊂ R 2 e seja ( x 0 , y 0 ) um ponto de A . Seja o polinômio P x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c , com a , b e c constantes. Suponha que existam M0 e uma bola
Sejam f x , y = e x + 5 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( 0,0 ) b) Avalie o erro para a aproximação e x + 5 y ≈ P 1 x , y Para x = 0,01 e y = 0,01
Sejam f ( x , y ) = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de (1,1).b) Avalie o erro que se comete na aproximação do item a).(Sugestão. Utilize o Exercíci