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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.1 - Ex. 44

Considere os pontos P tais que a distância de P a A ( - 1,5 , 3 ) seja o dobro da distância de P a B 6,2 , - 2 . Mostre que o conjunto desses pontos é uma esfera e determine seu raio e centro.

Passo 1

Bom, vamos começar a resolver essa questão dizendo que as coordenadas do nosso ponto P são x , y , z , aí, como sabemos que a distância de P a A é o dobro da distância de P a B , podemos aplicar a fórmula da distância:

x + 1 2 + y - 5 2 + z - 3 2 = 2 x - 6 2 + y - 2 2 + z + 2 2

Elevando ao quadrado em ambos os lados:

x + 1 2 + y - 5 2 + z - 3 2 = 4 x - 6 2 + y - 2 2 + z + 2 2

x 2 + 2 x + 1 + y 2 - 10 y + 25 + z 2 - 6 z + 9 = 4 x 2 - 12 x + 36 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 + 4 z + 4

x 2 + 2 x + y 2 - 10 y + z 2 - 6 z + 35 = 4 x 2 - 48 x + 4 y 2 - 16 y + 4 z 2 + 16 z + 176

3 x 2 - 50 x + 3 y 2 - 6 y + 3 z 2 + 22 z = - 141

Agora vamos dividir a equação inteira por 3 :

x 2 - 50 3 x + y 2 - 2 y + z 2 + 22 3 z = - 141 3

Certo, agora vamos completar quadrado:

x 2 - 50 3 x + 625 9 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 + 22 3 z + 121 9 = - 141 3 + 625 9 + 1 + 121 9

x - 25 3 2 + y - 1 2 + z + 11 3 2 = 332 9

Boa! Chegamos em uma equação de esfera com raio 2 83 3 e centro 25 3 , 1 , - 11 3 .

Resposta

r = 2 83 3 , C = 25 3 , 1 , - 11 3 .

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Dado os vetores u → = ( 3 , - 4 ) e v → = - 9 4 ,3 verifique se existem números aeb tais que u → = a v → e v → = b u → .
Dado os pontos A - 1,2 , 3 ,B 4 , - 2,0 , determinar o ponto P tal que A P → =3 A B → .
Mostrar que os pontos A 4,0 , 1 ,B 5,1 , 3 ,C ( 3,2 , 5 ) e D ( 2,1 , 3 ) são vértices de um paralelogramo.
Calcular aeb de modo que sejam colineares os pontos A 3,1 , - 2 ,B 1,5 , 1eC ( a , b , 7 ) .
Determinar o simétrico do ponto P ( 3,1 , - 2 ) em relação ao ponto A ( - 1,0 , - 3 ) .