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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 35

Considere o problema de valor de contorno y ´ ´ - 2 y ´ + 2 y   y a = c ,   y b = d

  1. Se este Problema tem uma solução única, como a e b estão relacionados?
  2. Se este problema não tem solução única, como a, b, c e d estão relacionados?
  3. S e este problema tem uma infinidade de soluções, como a, b, c e d estão relacionados.

Passo 1

Primeiramente nós solucionamos a equação característica onde:

r 2 - 2 r + 2 = 0 que tem solução r 1 = 1 + i   r = 1 - i ,   onde i 2 = - 1  

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 1 x = c 1 e ( 1 + i ) x + c 2 e ( 1 + i ) x

y x = e x ( c 1 e i x + c 2 e - i x )

Utilizando a identidade de Euler ( e i x = cos ⁡ x + i s e n ( x ) ) e aproveitando a parte real teremos:

y x = e x ( c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x )

Passo 2

  1. Aplicando as condições de contorno y a = c ,   y b = d

    2. y a = e a c 1 cos ⁡ a + c 2 s e n ( a ) = c

    c 1 cos ⁡ a + c 2 s e n ( a ) = c e - a

    y b = e b c 1 cos ⁡ b + c 2 s e n b = d

    c 1 cos ⁡ b + c 2 s e n ( b ) = d e - b

    Temos então um sistema linear com duas equações:

    c 1 cos ⁡ a + c 2 s e n ( a ) = c e - a

                  c 1 cos ⁡ b + c 2 s e n ( b ) = d e - b

    Que na forma matricial ficará:

    c o s ⁡ ( a ) s e n ⁡ ( a ) c o s ⁡ ( b ) s e n ⁡ ( b ) * c 1 c 2 = c e - a d e - b

    Para que tenha solução c o s ⁡ ( a ) s e n ⁡ ( a ) c o s ⁡ ( b ) s e n ⁡ ( b ) ≠ 0

    cos ⁡ a sen ⁡ b - cos ⁡ b sen ⁡ a ≠ 0

    s e n b cos ⁡ b ≠ s e n a cos ⁡ a   a s s i m   t g b ≠ t g a

    Logo b ≠ a + n π   n = 1,2 , 3 … . para que tenha solução única.

    Passo 3

  2. Para que não tenha solução única b = a + n π se isto acontece então as linhas ficam paralelas, se dividirmos uma pela outra teremos.

    3. c e - a d e - b = cos ⁡ a cos ⁡ b

    c d e a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b

    Mas nós queremos o caso em que ela não tem solução única, logo as linhas do meu sistema de que ser paralelas, mas não podem ser idênticas.

    Assim:

    c d e a - b ≠ cos ⁡ a cos ⁡ b onde b - a = n π

    Passo 4

  3. Portanto para que ela tenha infinitas soluções as linhas tem que ser idênticas e paralelas.

c d e a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b onde b - a = n π

Resposta

  1. b ≠ a + n π
  2. c d e a - b ≠ cos ⁡ a cos ⁡ b onde b - a = n π
  3. c d e a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b onde b - a = n π
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