Considere o problema de valor de contorno
- Se este Problema tem uma solução única, como a e b estão relacionados?
- Se este problema não tem solução única, como a, b, c e d estão relacionados?
- S e este problema tem uma infinidade de soluções, como a, b, c e d estão relacionados.
Passo 1
Primeiramente nós solucionamos a equação característica onde:
que tem solução onde
Utilizando a identidade de Euler () e aproveitando a parte real teremos:
Passo 2
- Aplicando as condições de contorno
- Para que não tenha solução única se isto acontece então as linhas ficam paralelas, se dividirmos uma pela outra teremos.
- Portanto para que ela tenha infinitas soluções as linhas tem que ser idênticas e paralelas.
Temos então um sistema linear com duas equações:
Que na forma matricial ficará:
Para que tenha solução
Logo para que tenha solução única.
Passo 3
Mas nós queremos o caso em que ela não tem solução única, logo as linhas do meu sistema de que ser paralelas, mas não podem ser idênticas.
Assim:
onde
Passo 4
onde
Resposta
- onde
- onde