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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 7

Uma de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob a ação de uma força elástica - x   i → e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por - c x ˙   i →   ( c > 0 ) . Determine c para que o movimento seja

  1. Fortemente amortecido.
  2. Criticamente amortecido.
  3. Oscilatório amortecido.

Passo 1

Usando a segunda lei de Newton

∑ F = m a

Onde a aceleração a é a segunda derivada da posição, ou seja, a = x ¨ , logo

x ¨ = - x - c x ˙

x ¨ + c x ˙ + x = 0

Vamos então usar como comparação a equação

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 2 x = 0

No caso da nossa equação

2 γ = c

γ = c 2

E também

ω 2 = 1

Passo 2

  1. Para ser fortemente amortecido é preciso que γ 2 > ω 2 , então

    2. c 2 4 > 1

    c 2 > 4

    Como c > 0

    c > 2

    Passo 3

  2. Para ser criticamente amortecido γ 2 = ω 2

    3. c 2 4 = 1

    c 2 = 4

    c = 2

    Passo 4

  3. Para assumir um comportamento oscilatório amortecido γ 2 < ω 2

c 2 4 < 1

c 2 < 4

c < 2

Resposta

  1. c > 2

  2. c = 2

c < 2

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