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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 8

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

16 y ' ' + 24 y ' + 9 y = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

16 x 2 - 24 x + 9 = 0

Sendo: a = 1 6 ,   b = - 24 ,   c = 9 .

Então para encontrar o ∆ usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 24 ± 24 2 - 4 . 1 6 . 9 2 . 1 6

x = - 24 ± 576 - 57 6 2.1 6

x = - 24 ± 0 3 2

x = - 24 ± 0 3 2

x ' = - 24 + 0 3 2 = - 3 4 ,     x ' ' = - 24 - 0 3 2 = - 3 4

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = C 1 e r 1 t + C 2 e t r 2 t

Resposta

Então encontramos a resposta.

y = C 1 e - 3 4 t + C 2 e t - 3 4 t

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Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce. 9 y ' ' - 12 y ' + 4 y = 0 , y 0 = 2 ,y ' 0 = - 1 .