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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 2

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

9 y ' ' - 6 y ' + y = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

9 x 2 - 6 x + 1 = 0

Sendo: a = 9 ,   b = - 6 ,   c = 1 .

Então para encontrar o ∆ usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:

    • y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = 6 ± 6 2 - 4 . 9.1 2 . 9

x = 6 ± 36 - 36 2.9

x = 6 ± 0 18

x = 6 ± 0 18

x ' = 6 + 0 18 = 1 3 ,     x ' ' = 6 - 0 18 = 1 3

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

Substituindo os valores das raízes:

y = C 1 e 1 3 t + C 2 t e 1 3 t

Resposta

Então encontramos a resposta.

y = C 1 e 1 3 t + C 2 t e 1 3 t

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