Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 21

Considere o problema de valor inicial

y ' ' + y = g ( t ) ,   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0 ,

em que

g ( t ) = u 0 ( t ) + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k u k π ( t ) .  

  1. Desenhe o gráfico de g(t) em um intervalo como 0 ≤ t ≤ 6π. Compare com o gráfico de f(t) no Problema 19(a).
  2. Encontre a solução do problema de valor inicial.
  3. Seja n = 15 e desenhe o gráfico da solução para 0 ≤ t ≤ 60. Descreva a solução e explique por que ela se comporta dessa maneira. Compare com a solução do Problema 19.
  4. Investigue como a solução varia quando n aumenta. O que acontece quando n → ∞ ?

Passo 1

No intervalo 0 ≤ t ≤ 6π, ukπ (t) é diferente de zero se k

g ( t ) = u 0 ( t ) + ∑ k = 1 5 ( - 1 ) k u k π ( t )

Passo 2

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + y } = ℒ { u 0 ( t ) + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k u k π ( t ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { y } = ℒ { u 0 ( t ) } + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k ℒ { u k π ( t ) }

s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) + Y ( s ) + ∫ 0 ∞ e - s t u 0 ( t ) d t   + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k ∫ 0 ∞ e - s t u k π ( t )   d t

Passo 3

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

( s ² + 1 ) Y ( s ) = 1 s + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k ( e - k π s s )

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

Y ( s ) = ( 1 s - s s ² + 1 ) + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k ( 1 s - s s ² + 1 ) e - k π s

Passo 4

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = ℒ - 1 { ( 1 s - s s 2 + 1 ) + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k ( 1 s - s s 2 + 1 ) e - k π s }

Chegando em:

y ( t ) = 1   -   c o s ( t )   + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k [ 1 - c o s ( t - k π ) ] u k π ( t )

Passo 5

Na letra c:

Passo 6

O valor de n determina a amplitude aproximada da parte estável da solução. Enquanto o gráfico cresce em amplitude, a função forçante g (t) é diferente de zero. Uma vez alcançado o estado estacionário, g (t) é zero. Se n → ∞ , o gráfico cresce a uma taxa linear para sempre. Ao contrário do gráfico de Problema 19, este sempre oscila em torno de y = 0.

Resposta

  2. y ( t ) = 1   -   c o s ( t )   + ∑ k = 1 n ( - 1 ) k [ 1 - c o s ( t - k π ) ] u k π ( t )
  3. Gráficos acima
  4. O valor de n determina a amplitude aproximada da parte estável da solução. Enquanto o gráfico cresce em amplitude, a função forçante g (t) é diferente de zero. Uma vez alcançado o estado estacionário, g (t) é zero. Se n → ∞ , o gráfico cresce a uma taxa linear para sempre. Ao contrário do gráfico de Problema 19, este sempre oscila em torno de y = 0.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o problema de valor inicial y ' ' + 0.1 y ' + y = g ( t ) , y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 , em que g(t) é a mesma que no Problema 21.Desenhe o gráfico da solução. Use um valor de n suficienteme
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. y ' ' + y = δ ( t - 2 π ) c o s ( t ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 1 .
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. y ' ' - y = - 20 δ ( t - 3 ) ;y ( 0 ) = 1 ,y ' ( 0 ) = 0
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. y ' ' + 2 y ' + 2 y = δ ( t - π ) ;y ( 0 ) = 1 ,y ' ( 0 ) = 0 .