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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 1

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  2. Desenhe um gráfico da solução.

y ' ' + 2 y ' + 2 y = δ ( t - π ) ;   y ( 0 ) = 1 ,   y ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + 2 y ' + 2 y } = ℒ { δ ( t - π ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { 2 y ' } + ℒ { 2 y } = ℒ { δ ( t - π ) }

s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) + 2 [ s Y ( s ) - y ( 0 ) ] + 2 Y ( s ) = ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - π ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 1 e y ' ( 0 ) = 0 .

[ s ² Y ( s ) - s ] + 2 [ s Y ( s ) - 1 ] + 2 [ Y ( s ) ] = e - s ( π )

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

Y ( s ) = 1 ( s + 1 ) ² + 1 + s + 1 ( s + 1 ) 2 + 1 + 1 ⁽ s + 1 ) 2 + 1 e - π s

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = e - t (   s e n ( t ) + c o s ( t )   ) - e π - t s e n ( t )   u π ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = e - t (   s e n ( t ) + c o s ( t )   ) - e π - t s e n ( t )   u π ( t )

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