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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 4

  1. Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
  2. Desenhe um gráfico da solução.

y ' ' - y = - 20 δ ( t - 3 ) ;   y ( 0 ) = 1 ,   y ' ( 0 ) = 0

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' - y } = ℒ { - 20 δ ( t - 3 ) }

ℒ { y ' ' } - ℒ { y } = ℒ { - 20 δ ( t - 3 ) }

s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) - Y ( s ) = - 20 ∫ 0 ∞ e - s t [ δ ( t - 3 ) ] d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais y ( 0 ) = 1 e y ’ ( 0 ) = 0 .

s 2 Y ( s ) - s - Y ( s ) = - 20 e - 3 s

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s 2 - 1 ) Y ( s ) - s =   - 20 e - 3 s

Y ( s ) = s s ² - 1 - 20 s ² - 1 e - 3 s

Passo 3

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa, chegando em:

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = c o s h ( t )   -   20   s e n h ( t - 3 ) u 3 ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t.

Resposta

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = c o s h ( t )   -   20   s e n h ( t - 3 ) u 3 ( t )

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