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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 8

Considere as reta reversas r e s de equações

x , y , z = 0,0 , 2 + λ 1,2 , 0 ; λ ∈ R

E

x , y , z = 0,0 , 4 + μ 1,1 , 1 ; μ ∈ R

Respectivamente. Determine P e Q , com P ∈ r   e Q ∈ s   de modo que distância de P   a Q seja a menor possível.

Passo 1

Como P ∈ r P = λ ,   2 λ ,   2 e Q ∈ s   temos que Q = ( μ ,   μ ,   μ + 4 ) .

Se ligue minino que precisamos minimizar a função distancia, ou seja, f λ , μ = μ - λ 2 + 2 λ - μ 2 + 2 + μ 2 . Mas isso, corresponde a encontrar o mínimo da função g λ ,   μ =   μ - λ 2 + 2 λ - μ 2 + 2 + μ 2 = 5   λ 2 - 6 λ μ + 3   μ 2 + 4   μ + 4   , pois a função é crescente.

Então vamo lá, minino!!!

Vamos derivar a função,

∂ g ∂ λ λ ,   μ =   10   λ - 6   μ

e,

∂ g ∂ μ λ ,   μ = - 6   λ + 6   μ + 4  

Encontrando o número crítico,

∂ g ∂ λ λ ,   μ = 0 = ∂ g ∂ μ λ ,   μ

Temos que

10   λ - 6   μ = 0 - 6   λ + 6   μ = - 4  

Multiplicando a segunda equação por - 1 e somando com primeira temos que

4 λ = - 4   ⟹ λ = - 1     μ =   - 5 3

Substituindo nos pontos, temos que

P = ( - 1 , - 2 ,   2 )

E,

Q = - 5 3 , - 5 3 , 7 3

Resposta

P = ( - 1 , - 2 ,   2 )

Q = - 5 3 , - 5 3 , 7 3

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