Enunciado

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.

f x , y = e x cos ⁡ y

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = e x cos ⁡ y

Queremos determinar os valores de máximos e mínimos locais.

Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação a x e y e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.

Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais f x x ,   f x y ,   f y y e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):

D x , y = f x x ⋅ f y y - f x y x , y 2

Com isso, a gente analisa as seguinte proposições:

  • Se D > 0 e f x x x , y > 0 , então f x , y é um mínimo local;
  • Se D > 0 e f x x x , y < 0 , então f x , y é um máximo local;
  • Se D < 0 , não é nem máximo e nem mínimo local.

Depois, deveremos determinar também os pontos de sela da função. Nesse caso, estamos referindo a última das proposições que acabamos de falar!!

Em outras palavras, se D < 0 para um ponto x , y , então esse ponto é o nosso ponto de sela da função! Vai ser nesse ponto em que o gráfico da função cruza o plano tangente em x , y .

Por fim, iremos utilizar uma ferramenta gráfica para plotar o gráfico!!

😉

Passo 2

Vamos fazer as derivadas parciais de f x , y , a começar por f x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x e x cos ⁡ y

Fazendo o y como constante e derivando x , temos:

∂ f ∂ x = cos ⁡ y ⋅ ∂ ∂ x e x ∴

∂ f ∂ x = e x cos ⁡ y

Agora vamos para f y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y e x cos ⁡ y

Fazendo o x como constante e derivando y , temos:

∂ f ∂ y = e x ∂ ∂ y cos ⁡ y ∴

∂ f ∂ y = - e x sin ⁡ y

Igualando ambas equações a zero e colocando em um sistema, obtemos:

e x cos ⁡ y = 0 - e x sin ⁡ y = 0

Passo 3

Perceba o que acontece se tentarmos resolver a primeira equação isolando y :

e x cos ⁡ y = 0 ∴

cos ⁡ y = 0 ∴

y = π 2 + n π

Onde n é um inteiro.

E, se substituirmos esse valor de y na segunda equação, veremos que o seno sempre resultará em zero.

Dessa forma, podemos concluir que a função não tem pontos críticos.

Resposta

A função não tem pontos críticos.

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